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1、“直线与平面”错解点击 在“直线与平面”内容中，为了研究直线与直线之间，直线与平面之间，平面与平面之间的各种关系，引进了一些基本概念和数学方法，例如“异面直线”，“直线与平面所成的角”、“二面角”等概念，反证法、同一法等方法，对于这类特定的概念理解不准确，对这些方法的掌握存在某些缺陷，解题时就容易出错 下面通过几例，对产生错误的解法进行分析，研究纠正错误的方法，从中吸取有益的教训，以加深对知识的理解，提高解题能力 例1 证明；斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上 错解 如图, 对于平面，直线AB是垂线，垂足B是点A的射影；直线AC是斜线，C是斜足，直线BC是斜线AC的射影 在AC上
2、任取一点P，过P作PO交BC于O， 点P在平面上的射影在BC上 点击 这样的证明似乎有点道理，事实上这些点也是在这条斜线在该平面的射影上，但仔细分析，这些点在这条斜线在该平面的射影上的理论根据不足，过点P作PO交BC于O，恰恰是本题要证明的是一种易犯的逻辑错误，许多同学在解题中往往错而不觉，对此应引起警觉 正解 AC是平面的斜线，点C是斜足，AB，点B是垂足 则BC是AC在平面上的射影 在AC上任取一点P，过点P作PO,垂足为O AB， PO AB， 点P在A、B、C三点确定的平面上，因此，PO平面ABC， OBC 例2 已知、是两个不重合的平面， 若平面平面，平面平面，则平面平面； 若平面内
3、不共线的三个点到平面的距离相等，则平面平面； a、b是平面内的两条直线，且a，b，则平面平面； 以上正确命题的个数为( ) (A)O个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 错解 三个命题都正确，选(D) 点击 产生错误的原因是对问题不能全面的分析，缺乏把握空间元素位置关系的能力，不是用特殊代替一般，就是用一般统盖“特殊”如判断、是真命题，只是考虑了图1与图2的情况，而忽略了图3与图4的情况(1) (2) (3) (4) 而判断是真命题，则是对平面与平面平行的判定定理：“如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行”没有真正理解，用任意两条直线代替了定理中的特指条件“两条相
4、交直线” 正解 因为三个命题都不正确，所以选(A) 例3 如图 E1、E2、F1、F2、G1、G2、H1、H2分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的三等分点，求证：E1H1，与F1G2是异面直线 错证1 (直接法) 连BD，由题设=，=， E1H1与BD不平行，设其交点为P，则PBD =, 则 F1G2BD， PF1G2 又E1P平面BCD，且E1E1P， E1平面BCD 故平面BCD内一点P与平面BCD外一点E1的连线E1P(即E1H1)与平面BCD内不过P点的直线F1G1是异面直线 错证2 (反证法) 设E1H1与F1G2不是异面直线，则E1H与F1G相交或E1H1F1G2
5、 设E1H1 F1G2=P， E1H 平面ABD，F1G 平面CBD， 则E1H1与F1G2的公共点P应在平面ABD与平面CBD的交线BD上， 则F1G2 BD=P，这与F1G2BD (CBD中，=)矛盾， E1H1与F1G2不相交 设E1H1F1G2， F1G2BD，由公理4知 E1H1BD，这与E1H1 BD=P(在ABD中，=，=，E1H1与BD不平行，必相交于一点P)矛盾， E1H1与F1G2不平行 综合(1)、(2)知E1H1与F1G2是异面直线 点击 采用证法1时，有些同学往往忽略强调点P在平面CBD上但不在直线F1G2上，且点E1在直线E1P上但不在平面CBD上，只证E1H1与F
6、1G2无公共点的一面，而忽视它们不在同一平面上，便得出E1H1与F1G2是异面直线的结论，这是对其判定定理的片面理解，因而是错误的 在采用证法2时，易犯的错误也是不全面，只排除了E1H1与F1G2不可能相交而忽略了还应排除它们平行的可能因此，一定要深刻理解异面直线的定义，克服证题中的片面性 例4 在正方体ABCDA1B1C1D1中，求它的对角线BD1与平面A1B1CD所成的角错解 连结A1C交BD1于E，则D1EA为BD1与平面A1B1CD所成角设正方体的边长为a.则A1E=D1E=a又 A1D1=a，在A1ED1中，由余弦定理得cosA1ED1= A1ED1=arccos,即BD1与平面A1
7、B1CD所成角为arccos. 点击 以上证法的错误在于，A1ED1不是直线BD1与平面A1B1CD所成的角.平面的一条斜线与它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角，本题中D1A1不垂直于平面A1B1CD，所以A1E不是D1E在平面A1B1CD内的射影正是对“直线在平面内的射影”这个概念理解不清，导致了以上错误，所以在解此类题时，一定要先找出斜足，再作出垂足，垂足与斜足连线才得射影.正解 A1B1平面A1ADD1, 又A1B1平面A1B1CD平面A1ADD1平面A1B1CD.连结AD1交A1D于O,则D1OA1D,D1O平面A1B1CD.连A1C交BD1于E，连OE，则OE
8、为D1E在平面A1B1CD内的射影,D1EO为BD1与平面A1B1CD所成的角.设正方体的边长为a, 则D1O=a, OE=AB=a,在RtD1OE中, tanD1EO=, D1E0=aretan，即BD1与平面A1B1CD所成的角为arctan. 例5 已知，AB是半径为R的O的直径，0CAB，P、Q是圆上两点，且AOP=300，COQ=450,沿OC折叠使半圆面成一直二面角(如图)，求P、Q两点间的距离.错解 在平面AOC内，过点P作PDOC于D， 平面AOC平面BOC，则PD平面BOC，连结DQ， DQ 平面BOC，PDQ是直二面角AOCB的平面角， PDQ=900 AOP=300， P
9、OD=600 在RtPOD中， PD=Rsin600=R, 在RtDOQ中， DQ=Rsin450=R, 在RtPDQ中，PQ=, 即P、Q两点间的距离是 点击 此证法的错误在于对二面角的平面角理解有误判定一个角是否是二面角的平面角，必须同时满足三个条件：顶点在棱上；角的两边分别在两个半平面内；这两条射线都必须垂直于棱误解中忽视了条件中的“都”字，事实上，DQ与OC不垂直，这再次提醒我们必须搞清空间每个元素的确切含义，概念一定要清楚，解题过程中要严格按定义要求落实，不能随心所欲 正解 同错解，得PD=R.又0D=R在0DQ中，由余弦定理得 DQ2=0D2+0Q2一20DOQcos450 =R2 在RtPDQ中，由勾股定理，得PQ= =.故P、Q两点之间的距离为.
