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1、高考数学第二轮复习 多面体定义1：与多面体各棱相切的球与各面与的截线在所在面的多边形内，那么该球称为该多面体的内棱切球，其球心称为该多面体的内棱心。定理1：多面体的内棱心在各面的射影是相应面的内心，内棱切球与各面的截线是相应面的内切圆。证明：因为球与平面的截线是圆，并且截线与截面的各边只有一交点，也就是与截面各边都相切。因为截线在截面所在的多边形内，所以截线是截面的内切圆。设点R是某多面体的内棱心，平面A1A2An是该多边形的一个面，点R在平面A1A2An的射影是I，棱切球与棱A1A2、A2A3、AnA1的切点分别是B1、B2、Bn，因为RA1A2I图1B1B2RB1 = RB2 = = RB
2、n，RIA1 = RIA2 = = RIAn = 90，所以RIA1 RIA2 RIAn，所以IA1 = IA2 = = IAn，因此点I 是n边形A1A2An的外心。定理2：如果多面体存在内棱切球，则该内棱切球是唯一的。证明：如果多面体存在内棱切球，根据定理1，过各面的内心作所在面的垂线，那么垂线的交点就是多面体的内棱心，所以该多面体的内棱心是唯一确定的。另外，球的半径是内棱心与该多面体的某一棱的距离，所以球的半径也是唯一确定的，因而内棱切球也唯一确定。定理3：空间一点是四面体的内棱心的充要条件是：该点与四面体各顶点的连线与过该顶点三棱的夹角相等并且都是锐角。证明：（1）充分性ABCDEFG
3、图2RHIJ设空间一点R与与四面体ABCD各顶点的连线与过该顶点三棱的夹角相等，连AR、BR、CR、DR，过点R作棱AB、AC、AD、BC、BD、CD的垂线，垂足分别是E、F、H、G、I、J，并且都在各棱内，则AER AFR AGR，所以ER = FR = GR。同理可得ER = HR = IR，FR = HR = JR，GR = IR = JR，所以ER = FR = GR = HR = IR = JR，所以点R是四面体ABCD的内棱心（2）必要性设点R是四面体ABCD的内棱心，内棱切球与棱AB、AC、AD、BC、BD、CD的切点分别是E、F、H、G、I、J，并且都在个棱内，则ER = FR
4、 = GR = HR = IR = JR，所以EAR = FAR = GAR 0，那么点R与点A在平面BCD的同侧；如果Z 0；图4ABCDEFRI1当点R与点A在平面BCD的异侧时，EI1R是钝角，所以RI12 + EI12 ER2 0，那么点R与点A在平面BCD的同侧；如果Z 0，那么点R与点A在平面BCD的异侧；如果Z = 0，那么点R在平面BCD内。定理7：如果四面体既存在垂心又存在内棱切球，则该四面体是一正三棱锥。证明：设在四面体ABCD中，AB = a，AC = b，AD = c，CD = p，BD = q，BC = r，如果四面体既存在垂心又存在内棱切球，那么必然a + p =
5、b + q = c + r，a2 + p2 = b2 + q2 = c2 + r2，前一式平方减去后一式，得到2ap = 2bq = 2cr，再用a2 + p2 = b2 + q2 = c2 + r2减去上一式，得到(a p)2 = (b q)2 = (c r)2。如果a p = b q = c r，那么与a + p = b + q = c + r相加，便得到a = b = c，与a + p = b + q = c + r相减，便得到p = q = r，所以四面体ABCD是正三棱锥。对于满足(a p)2 = (b q)2 = (c r)2的其它情况同样可以证明四面体ABCD是正三棱锥，所以如果
6、四面体既存在垂心又存在内棱切球，则该四面体是一正三棱锥。定义2：与四面体各棱或其所在直线相切，并且至少有一个四面体的面与球的截线不在该面所含的三角形内，则称该球为该四面体的外棱切球，其球心称为该四面体的外棱心。如果外棱切球的各切点所都在临面区边界上，则称棱切球在临面区与四面体各棱相切；如果外棱切球有五个切点在临棱区边界上，则称棱切球在临棱区与四面体各棱相切；如果外棱切球有三个切点在临顶区边界上，则称棱切球在临顶区与四面体各棱相切。仿照定理1和定理2的证明，得到定理8：如果四面体ABCD的临面区BCD存在外棱切球与各棱相切，则球与平面BCD的截线是BCD的内切圆，与平面ACD、ABD、ABC的截
7、线分别是ACD、ABD、ABC的旁切圆；在平面BCD的射影是BCD的内心，在平面ACD的射影是ACD的与点A分在CD两侧的旁心，在平面ABD的射影是ABD的与点A分在BD两侧的旁心，在平面ABC的射影是ABC的与点A分在BC两侧的旁心。定理9：如果四面体ABCD的临面区BCD存在外棱切球与各棱相切，则该棱切球是唯一确定的。仿照定理3的证明，可得定理10：空间一点P是四面体ABCD的一临面区的外棱心的充要条件是：AP与棱AB、AC、AD的夹角相等，BP与AB的延长线、棱BC、BD的夹角相等，CP与AC的延长线、棱BC、CD的夹角相等，DP与AD的延长线、棱BD、CD的夹角相等，并且这些夹角都是锐
8、角。定理11：球R是四面体ABCD的外棱切球，并且球R在平面BCD的临面区与四面体ABCD各棱相切的充要条件是：AB CD = AC BD = AD BC。证明：（1）充分性设ABC与点A相对的旁切圆与AB、AC、BC分别相切于点E、F、G，ABD与点A相对的旁切圆与AB、AD、BD分别相切于点E、H、I，ACD与点A相对的旁切圆与AC、AD、BD分别相切于点F、H、J，BCD的内切圆与BC、BD、CD分别相切于点G、I、J。因为AB CD = AC BD = AD BC，所以ABCDEFGHIJ图5AE BE CJ DJ = AF CF BI DI，又因为BE = BI，CJ = CF，所以AE DJ = AF DI，由于AE = AH，DJ = DH，AF = AH，DI = DH，所以AH DH = AH DH，因为AH DH = AH DH（= AD），以上两式相减，得到AH AH = AH AH，亦即AH = AH，因此点H与H 重合。同理可证点E与E 重合，点F与F 重合，点G与G 重合，点I与I 重合，点J与J 重合。因此该四面体有球心与点A分别在平面BCD的两侧的外棱切球。（2）必要性设球心与点A分别在平面BCD的两侧的外棱切球与AB、AC、BC、AD、BD、CD分别相切于点E、F
