《高考数学知识模块复习指导学案——极限【I】人教版（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学知识模块复习指导学案——极限【I】人教版（通用）（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【学法旨要】1本章学习的目标是什么?(1)从数列的变化趋势理解数列极限的概念，会判断一些简单数列的极限，并了解数列极限的-N定义；掌握数列极限的四则运算法则，会用它求一些数列的极限(2)从函数的变化趋势理解函数的极限概念，知道基本初等函数在其定义域内每一点的极限值等于该点的函数值；掌握极限的四则运算法则；了解两个重要极限(3)了解函数在某一点处连续的意义和初等函数在定义域内每点处都连续；会从几何直观理解闭区间上连续函数有最大值与最小值2学好本章知识的关键在哪里?学好本章的关键就在于理解数列极限和函数极限的概念只有深刻理解概念，才能在此基础上解决有关极限的问题【经点答疑】1什么是数列的极限?在引
2、入数列极限的精确定义之前，我们先看一句中国古语：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”这句话的意思是说：“有一根一尺长的木棒，每天截下前一天留下的一半，永远也截不完”我们来考察每天所剩余的木棒长度如何随着天数的改变而变化因为日取其半，所以第1天剩余的木棒长度为，第2天截下尺的一半，所以剩余的木棒长度为，依此类推，第n天剩余的木棒长度为这个式子反映了每天所剩余的木棒长度随着天数改变而变化的规律它具有这样的变化趋势：当天数n无限增大时，剩余木棒长度以0为极限，并记为我们又以另一方面考察，截下的木棒总长度如何随着天数的改变而变化第1天截下的木棒总长度为，到第2天截下的木棒总长度为，依此类推，到第n天截下的
3、木棒总长度为这个式子就反映了截下的木棒长度如何随着天数而改变的变化规律它具有这样的变化趋势：当天数n无限增大时，截下的木棒总长度无限接近于常数1，这时我们就说，当天数n趋向于无穷大时，截下的木棒总长度以1为极限，并记为如果我们把每天所剩余的木棒长度数值与截下的木棒总长度数值分别依次排列起来，那么可以得到两个数列：这时(1)式和(2)式就分别是和的数列展开式这两个数列中的项具有这样的变化趋势：当项数n无限增大时，数列(1)中的项无限接近于常数0，而数列(2)中的项无限接近于常数1，这时我们就说数列(1)以0为极限，而数列(2)以1为极限从上面两个具体数列极限的例子的共同特点，可以抽象出数列极限的
4、描述性定义：如果数列中的项具有这样的变化趋势：当n无限增大时，项无限接近某一个常数A，那么我们就说，数列以常数A为极限，且记为关于数列极限概念的这种描述，只能算直观的描述，虽然有直观易懂的特点，但在运用极限进行推理时将会碰到困难，且利用“n无限增大”和“无限接近于某一个常数A”这些未加说明的直观描述来判断，在逻辑上是有毛病的，也容易发生错误，所以还必须对数列极限作确切的刻画，把直观描述上升为精确的定义数列极限的精确定义：上面关于数列极限的直观描述中，有一个涉及到极限本质的问题，这就是：“无限接近于常数A”的真正含义是什么?弄清这点是掌握数列极限概念的关键，用句俗话来说，“无限接近于常数A”的意
5、思是：“可以任意地靠近A，希望有多近就能有多近，只要n充分大时，就能达到我们希望的那样近”换句话来说，就是指：“距离可以任意地小，希望有多小就能有多小，只要n充分大时，就能达到我们希望的那样小”现拿数列来说明，若取作标准,那么只要n3，就有；如果认为还不够小，要选作标准，那么只要n6,就有；如果嫌仍不够小，要选更小的作标准，那么只要n9，就有；(如果想选再小的作标准，那么只要n13，就有.)总之，任意给出一个无论多么小的正数作标准，只要这个一经给定，那么对数列来说，总可以确定一项(或者说总存在一项，设为第N项)使得随后的所有项(即满足nN的一切)，都有上述过程可以概括在如下的表格中：给定正数总
6、存在一个项数使得当时都有3n36n69n913n13NnN这个表格的最后一行是值得我们注意的，它把数列“无限接近于1”的本质确切地刻画出来了，把它概括为一般情形，就得到用和N描述的数列极限的精确定义(简称为“-N”定义)：设有数列，并设A是一个常数如果任意给定一个(无论多么小的)正数，总存在一个正整数N，使得当nN时，都有成立，则称数列以常数A为极限，且记为或者记为如果数列不存在极限，则称数列发散注：是希腊字母，读作epsiln；是拉丁文(极限)一词的前三个字母，通常按英文limit(极限)一词读音现在我们对极限的定义作几点说明：(1)关于正数，定义中的正数是一个距离指标，用来刻画与A的接近程
7、度具有二重性：是任意性，即可以根据需要任意选取，这样，由不等式才能表明数列无限接近于a；是相对固定性，虽然可以任意给定，但一经给定就相对固定下来，作为一个固定的正数看待正数的二重性体现了一个数列逼近它的极限时要经历一个无限过程(这个无限过程通过的任意性来体现)，但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的(这个有限的变化通过的相对固定性来体现)(2)定义中的正整数N是一个特定的项数，对于这个项数，重要的是它的存在性，它是在固定后才能确定的，所以它依赖于大体上说来，变小时，N就变大，所以可以把N看成是的函数要注意，对于一个固定的来说，合乎定义要求的正整数N不是惟一的例如数列的极限为
8、0，即，取定存在自然数，当n100时有，显然，对取定的，比100大的任何一个自然数都能起到的作用如取，当，当然也有一般情况，对任意0，总存在自然数N，当nN时，有，于是当时，当然也有.由此可见，在极限的定义中，“总存在自然数N”这段话，在于强调自然数N的存在性因此，在极限的证明题中，常取较大的自然数N此外，定义中的不等式指的是下面一串不等式：.定义要求这一串不等式都成立至于下面N个不等式，并不要求它们一定成立：(3)若是任意给定的数，不难看到2，5，也都是任意给定的数尽管它们在形式上与有差异，但在本质上它们与起同样的作用今后在极限的证明题中，常应用与等价的其他形式2数列极限的几何意义是什么?学
9、习数列极限的几何解释，将有助于我们对数列极限概念有更深的理解由于数列的每一项在数轴上可以用一个点来表示，因而数列的每一项在数轴上就对应一个点列先把数列的每一项和A在数轴上对应的点表示出来，再作出以点A为中心，为半径的开区间(A-，A+)由于不等式等价于，所以数列极限精确定义的几何表示为：数列以A为极限，就是对任意给定的一个开区间(A-，A+)，第N项以后的一切数全部落在这个区间内，如图2-1：(以后的一切项全部落在有阴影的区间中)图上的那个开区间(A-，A+)，我们有时也称它是A点的邻域，记为(A，)这样的定义可以用邻域把它叙述出来：对任意给定的邻域(A，)，一定存在正整数N，当nN时，这个定
10、义和刚才已经给出的定义是一样的，这是因为和是一回事3收敛数列是否可以进行四则运算?可以若数列与皆收敛(数列与的极限存在)，则可以对它们进行加、减、乘、除的四则运算我们看以下三个运算法则：若数列与皆收敛，则数列也收敛，且若数列与皆收敛，则数列也收敛，且若数则，皆收敛，且则数列也收敛，且这三个运算法则指出：若两个数列收敛，先对它们进行四则运算再进行极限运算等于先对数列进行极限运算再进行四则运算这表明四则运算与极限运算是可以交换次序的这两种不同的运算交换次序将给计算极限带来很大的方便，我们可以利用这三个运算法则计算以下几道例题例1 考察其中k，都是正整数，并且是都思路启迪 原极限式中分子与分母各项式
11、的极限都不存在，所以应将其变形，变成分子与分母极限都存在的形式规范解法 应用和与差的运算，得：再应用除法运算，得：例2 设思路启迪 由于的极限都不存在，所以应先将变形，使之变成极限可求的数列规范解法 因为用除分子和分母，得，而，由得知，再应用除法运算，即求得4什么叫无穷小量,无穷大量?设是一个数列，若对于任意给定的0，总存在正整数N，当nN时，,则称为无穷小量，记为或要注意的是不能把无穷小量理解为很小的量设是一个数列，如果对任意给定的CO，总存在正整数N，当nN时必有我们就称是一个无穷大量，记为，或要注意的是无穷大量是一个变量，在它的变化过程中，其绝对值随着n的增大而无限制增大，切不可把它和很
12、大的量混淆起来无穷大量的几何解释：所谓是无穷大量，就是对任意给定的两个开区间(R，+)及(-，R)，一定有这样的一项(第N项)，自这项以后的一切项(即nN的)全部都落在这两个开区间内，如图2-2对于无穷大量，有时我们还要从变量的变化趋势是保持正号还是保持负号来对无穷大量加以区分，有：(1)正无穷大量：设是无穷大量，并且自某项N以后(即nN)，有，我们就说是正无穷大量，记为或正无穷大量也可以这样叙述：对任意给定的C0，总存在N，当nN时有，就称是正无穷大量(2)相仿地可以给出负无穷大量的概念5无穷大量与无穷小量有什么关系?无穷大量和无穷小量之间有着密切的关系，可以用下面的定理表达出来定理：若为无
13、穷大量，则它的倒数所成的数列为无穷小量反之，若为无穷小量，且，则它的倒数所成的数列为无穷大量证明：因是无穷大量，根据定义，对任意给定的CO，总可找到正整数N，当nN时，有，从而有因为C是任意的，所以也是任意的，于是就证明了是无穷小量定理的第二部分可以同样证明6无穷大量有哪些运算法则?(1)设和都是正(或负)无穷大量，那么它们的和也是正(或负)无穷大量证明：我们只证明正无穷大量的情形对任意给定的C0，因，所以存在，当时有，又因，所以还存在，当时，有现在取，那么当nN时，就有，这便证明了要注意的是，任意两个非同号的无穷大量之和可能不是无穷大量，例如n和-n都是无穷大量，但它们的和是0，0，显然不是
14、无穷大量(2)设是无穷大量，而是有界数列(后面有对有界数列的说明)，那么它们的和是无穷大量(3)设是无穷大量，又设数列具有以下特性，存在某个N，当nN时，有，那么它们的乘积是无穷大量证明：对任意给定的C0，由于，故存在，当时，有又因为当nN时，有，这时取当时，就有，而0是一个定数，这就证明了推论：设是无穷大量，收敛于a(a0)，那么它们的乘积是无穷大量例 设思路启迪 和前面的例题一样，原极限式的分子和分母都不存在极限，所以应先将其变形，化成极限可求的情形规范解法 我们可以把写成： 因为，又因为，所以，由推论得.将这个例子和前面的例子合并起来，我们便得到这里当然要假定点评 以后碰到类似求的问题，
15、可以直接套用最后的结论.7什么是函数的极限?实际上，数列就是定义域为自然数集的函数，在每一个自然数n处的函数值f(n)就是，即，如果理解了这种特殊函数形式的极限，那么学习函数极限的概念也就可以触类旁通，因为数列极限已包含着一般函数极限的基本思想与数列不同的是，函数y=f(x)的自变量有多种变化过程一般来说，自变量x的变化趋势有两种情形：一种是x无限接近于固定值；另一种是x的绝对值无限增大，也就是x沿数轴的正向和负向无限远离原点，下面就这两种不同的情形分别讨论函数的极限引例1 已知自由落体的运动方程是，求在时刻t=1秒时的瞬时速度解 这里我们遇到了两个问题：(1)什么叫做在时刻t=1秒时的瞬时速度；(2)怎么求出在时刻t=1秒时的瞬时速度在中学物理课本中，我们知道，当质点做匀速直线运动时，速度是位移与时间之
