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1、第一章 集合与函数的概念一集合（一）.集合的含义与表示1集合：一般地，我们把研究对象统称为元素（element）,把一些元素组成的总体叫做集合（set）2.集合元素三特征.对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征.（注意：只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 相等 3.集合的字母表示如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作：aA；如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作：aA.4.集合的表示方法列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法.
2、 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为，其中x代表元素，P是确定条件.5. 集合的含义与表示的反思与小结 描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如与不同. 只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如，. 集合的 已包含“所有”的意思，例如：整数，即代表整数集Z，所以不必写全体整数.下列写法实数集，R也是错误的. 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.6. 文氏图，或称Venn图7，基础练习1）. 下列说法正确的是（）.A某个村子里的高个子组成一个集合B所有小正数组成一个集合
3、C集合和表示同一个集合D这六个数能组成一个集合2）. 下列说法正确的是（ ）. A.不等式的解集表示为 B.所有偶数的集合表示为 C.全体自然数的集合可表示为自然数 D. 方程实数根的集合表示为3）. 直线与y轴的交点所组成的集合为（ ）. A. B. C. D. 4）.以下三个集合有什么区别.（1）；（2）；（3）.5）.【例题】某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的个课外活动小组。现已知参加英语小组的有17人。参加语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组？A.15 B.16 C.17 D.18（二
4、），集合间的基本关系1子集、相等、真子集、空集的概念. 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset），记作：，读作：A包含于（is contained in）B，或B包含(contains)A.当集合A不包含于集合B时，记作.B A 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系为： . 集合相等：若，则中的元素是一样的，因此. 真子集：若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集（proper subset），记作：A B（或B A），读作：A真包含于B（或B真
5、包含A）. 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.2. 如果一个集合含有n个元素，那么它的子集有个，真子集有个3任何一个集合是它本身的子集，任何一个非空集合是它本身的真子集.3.基础练习1）.外语学校有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，三种都能教的有2人，则只能教法语的有（）。A.4人B.5人C.6人D.7人2）. （3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？ 若； 若3）.若集合，且满足，求实数
6、的取值范围.4） 已知，且，求实数p、q所满足的条件. （三）集合的基本运算1. 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫作A、B的交集（intersection set），记作AB，读“A交B”，即： A BVenn图如右表示.2.类比说出并集的定义.由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集（union set），记作：，读作：A并B，用描述法表示是：A BA.Venn图如右表示.AA A ；AA A . A ；A A .3 全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U. 4补集：已知
7、集合U, 集合AU，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作A相对于U的补集（complementary set），记作：，读作：“A在U中补集”，即.补集的Venn图表示如右： 说明：1.全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，补集的概念必须要有全集的限制. 2.有关不等式解集的运算可以借助数轴来研究.5. 集合的基本性质，6基础练习1. 若关于x的方程3x2+px7=0的解集为A，方程3x27x+q=0的解集为B，且AB=，求.2设集合，则 .二函数1.函数定义.设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从
8、集合A到集合B的一个函数（function），记作：.其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域（range）2. 设a、b是两个实数，且ab，则：叫闭区间；叫开区间；，都叫半开半闭区间. 实数集R用区间表示，其中“”读“无穷大”；“”读“负无穷大”；“+”读“正无穷大”.如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）3函数三要素：定义域，值域，对应法则4.函数的表示法解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观
9、形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值.5.一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射（mapping）记作“” 关键：1.A中任意，B中唯一；对应法则f。2. 判定是否是映射主要看两条：一条是A集合中的元素都要有对应，但B中元素未必要有对应；二条是A中元素与B中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式6基础练习1）. 如下图可作为函数的图象的是（ ）. A. B. C. D.2）. 下列各组函数的
10、图象相同的是（ ）A.B.C. D.3）.4).画出函数f(x)=|x1|x2|的图象.三，函数的基本性质.1. 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function.如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间.2. 证明单调性.第一步：设x、x给定区间，且xx；第二步：计算f(x)f(x)至最简；第三步：判断差的符号；第四步：下结论.3 .用定义求最大最小值先按定
11、义证明单调性，再应用单调性得到最大（小）值.例如求的最大值和最小值.3. 奇偶性一般地，对于函数定义域内的任意一个x，都有，那么函数叫偶函数（even function）.判别方法，先看定义域是否关于原点对称，再计算 定义在R上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.四集合与函数概念测试（一）填空与选择1、已知集合，且M，N都是集合的子集,如果把叫做集合的“长度”，那么集合的长度的最小值是 2、设且，则实数的取值范围是 3.下列表述中错误的是（ ）A 若 B 若C D 4.设集合求集合的所有非空子集元素和
12、的和 5已知偶函数f(x)在区间0，)上单调增加，则满足f(2x1)f()的x取值范围是()A. (，) B.(-，-) C. (-，-)(，) D. (-，)6有一空容器，由悬在它上方的一根水管均匀地注水，直至把容器注满，在注水过程中水面的高度变化曲线如图所示，其中PQ为一线段，则与此图相对应的容器的形状是()3、设A=, B=, 下列各图中能表示从集合A到集合B的映射（二）大题（本大题满分14分）1已知集合,且,求的取值范围2. (本小题满分14分)已知函数，对于定义域内任意x、y恒有恒成立。 （1）求； （2）证明方程有且仅有一个实根； （3）若恒成立，求实数a的取值范围。3若非零函数对
13、任意实数均有，且当时，；（1）求证： ；（2）求证：为减函数 （3）当时，解不等式.1、 解析：对于；又，因此；又，因此；这样比小，也可能比大，但为了使的“长度”小，则需要比大，这样的“长度”为，“长度”的最小值2、 解析；对于集合，因，则，因此有，因此3.C 当时，4.解：含有的子集有个；含有的子集有个；含有的子集有个；6含有的子集有个， （有（1+2+3+10）29即可给满分124. A5. C二题1.解：，当时，而 则 这是矛盾的；4当时，而，则； 8当时，而，则； 12综上所述142. 解：（1）令x=y=1， ，； 2分（2）任取，则又定义域内任意x、y恒有 函数在其定义域内为增函数，由（1）和，所以1为方程的一个实根，若还存在一个，因为函数在其定义域内为增函数，必有，故方程有且仅有一个实根； 8分（3）由（2）知函数在其定义域内为增函数当恒成立即时恒成立
