《高三数学高考第一轮复习——立体几何与空间向量（文）人教实验A版 知识精讲（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学高考第一轮复习——立体几何与空间向量（文）人教实验A版 知识精讲（通用）（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高三数学高考第一轮复习立体几何与空间向量（文）人教实验A版【本讲教育信息】一. 教学内容：立体几何与空间向量二. 重点、难点：（一）1. 在同一个平面内平面向量的所有结论均可使用。2 A、B、C三点共线 3. 共面向量 均在平面内（x，y唯一）4. 空间向量的坐标表示（1）（2）（3）（二）直线，m的方向向量为平面的法向量为（1）（2）（3）（4）（5）（6）（三）三种空间角的向量法计算公式： 1. 异面直线所成的角：； 2. 直线与平面（法向量）所成的角； 3. 锐二面角：，其中为两个面的法向量。【典型例题】例1 在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点。求
2、证：A1O平面GBD。证明：设，则而 ，A1OOG 又 BDOG=O A1O平面BDG例2 如图所示，在四棱锥MABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱AM的长为，且AM和AB，AD的夹角都等于60，N是CM的中点。（1）以为基向量表示出向量，并求CM的长；（2）求BN的长。解析：（1） （2） 例3 若A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，则BCD是（ ）A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 不确定答案：B解析： 同理，故BCD为锐角三角形，因此选B例4 已知A（3，1，5）、B（2，1，4），求直线AB与坐标平面的交点M的坐标。解析：设M（，0，），由条件A
3、、B、M三点共线 ， M例5 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=AB=AC，ABAC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于（ ）A. 30 B. 45 C. 60 D. 90解析：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系，A（0，0，0），M（0，1，），Q（），设P（x，0，1） 选D例6 已知，若，则与的值可以是（ ）A. 2， B. C. 3，2 D. 2，2答案：A解析： 存在实数，使，即： 或，故选A。例7 若向量，且与的夹角余弦为，则等于（ ）A. 2 B. 2 C. 2或 D. 2或答案：C解析： 例
4、8 在正三棱柱ABCA1B1C1中，若，则与C1B所成的角的大小为（ ）A. 60 B. 90 C. 105 D. 75答案：B解析：如图， ，设 例9 已知空间三点A（0，2，3）、B（2，1，6）、c（1，1，5），求以、为邻边的平行四边形的面积。解析：故以、为邻边的平行四边形面积为例10 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2（如图）（1）求证：平面A1BC1/平面ACD1；（2）求（1）中两个平行平面间的距离。分析：证面面平行，只需证其中一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，而计算面面距离，除找公垂线段外，还可求其中一个平面内任一点到另一平面的距离，还可
5、用“体积法”计算。解答：（1）由于BC1/AD1，则BC1/平面ACD1同理，A1B/平面ACD1，则平面A1BC1/平面ACD1（2）设两平行平面A1BC1与平面ACD1间的距离为，则等于D1到平面A1BC1的距离。易求A1C1=5，A1B=，BC1=，则则，则由于，则代入求得，即（1）中两个平行平面间的距离等于例11 在底面是菱形的四棱锥PABCD中，ABC=60，PA=AC=，PB=PD=，F为PC的中点，点E在PD上，且，求证：BF/平面AEC。解析： 、共面又平面AEC，从而BF/平面AEC例12 在直三棱柱A1B1C1ABC中，BCA=90，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中
6、点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成的角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 答案：A解析：建立如图所示的坐标系，设BC=1，则A（1，0，0），F1（，0，1），B（0，1，0），D1（）即 例13 如图，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F。求证：（1）A1C平面BED；（2）求A1B与平面BDE所成的角的正弦值。解答：（1）证明：连AC交BD于点O，由正四棱柱性质可知AA1底面ABCD，ACBD A1CBD 又 A1B1侧面BC1且B1CBE A1CBE BDBE=B A1C平面BD
7、E（2）设A1C交平面BDE于点K，连BK，则A1BK为A1B与平面BDE所成的角 在侧面BC1中，BEB1C BCEB1BC 又 BC=2，BB1=4 CE=1连OE，则OE为平面ACC1A1与平面DBE的交线 OEA1C=K 在中， 又 在中，即A1B与平面BDE所成的角的正弦值为例14 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动。（1）证明：D1EA1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为。解答：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为轴，建立空间直角坐标系，设AE=，则A1
8、（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，0），A（1，0，0），C（0，2，0）（1）因为=0，所以（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为（3）设平面D1EC的法向量 ，由 令 ， 依题意例15 如图所示，已知边长为的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA平面ABC，且PA=2，设平面过PF且与AE平行，求AE与平面间的距离。解答：设、的单位向量分别为，选取作为空间向量的一组基底，易知设是平面的一个法向量，则 直线AE与平面间的距离为例16 如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知
9、AB=2，AA1=5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE=B1F=1。（1）求证：BE平面ACF；（2）求点E到平面ACF的距离。解析：（1）证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为轴建立如图的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，5），E（0，0，1），F（2，2，4） BEAC，BEAF，且ACAF=A BE平面ACF（2）解：由（1）知，为平面ACF的一个法向量 向量在上的射影长即为E到平面ACF的距离，设为于是，故点E到平面ACF的距离为例17 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1。求异面直线DA
10、1与AC的距离。解答：如图建立空间直角坐标系，则A（1，0，0）、C（0，1，0）、B1（1，1，1）、A1（1，0，1），向量，设向量，且，则解得，所以 异面直线DA1与AC的距离为例18 在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足（如图（1）所示）。将AEF沿EF折起到A1EF的位置，使二面角A1EFB成直二面角，连结A1B、A1P（如图（2）。（1）求证：A1E平面BEP；（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小。分析：本例属于翻折问题，在翻折前的图（1）中易证EFAB，而翻折后保持这一垂直关系，并且易证A1EBE，从而有“三条直线两两垂直”，所以本例可以建立
11、坐标系，利用空间向量求解。解析：不妨设正三角形ABC的边长为3（1）在图（1）中，取BE中点D，连结DF 又 A=60 ADF是正三角形又 AE=ED=1 EFAD 在图（2）中有A1EEF，BEEF A1EB为二面角A1EFB的平面角 二面角A1EFB为直二面角 A1EBE又 BEEF=E A1E平面BEF，即A1E平面BEP（2）由（1）问可知A1E平面BEP，BEEF建立如下图所示的坐标系，则E（0，0，0），A1（0，0，1），B（2，0，0），F（0，0），D（1，0，0）在图（1）中，不难得到EF/DP且EF=DP，DE/FP且DE=FP，故点P的坐标P（1，0） （2，0，1），
12、（0，0，1）不妨设平面A1BP的法向量，则，令得 故直线A1E与平面A1BP所成角的大小为例19 如图所示两个正四棱锥PABCD与QABCD的高分别是1，2，AB=4。（1）证明PQ平面ABCD；（2）求异面直线AQ与BP所成角的大小；（3）求点P到平面QAD的距离。（1）连结AC、BD，设ACBD=O PABCD与QABCD都是正四棱锥 PO平面ABCD，QO平面ABCD 又 POQO=O P、O、Q三点在一条直线上 PQ平面ABCD（2）建立如图所示坐标系，则O（0，0，0），Q（0，0，2），B（0，0），P（0，0，1），A（，0，0） 异面直线所成角的范围是 异面直线AQ与BP所成
13、角的大小为（3）在坐标系中，D（0，0），设平面QAD的一个法向量为，则令得 点P到平面QAD的距离例20 如图1所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m。（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论。图1 图2解析：（1）建立如图2所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0，），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），P（0，1，m），B1（1，1，1），D1（0，0，1） 又由 为平面BB1D1D的一个法向量设AP与平面BB1D1D所成的角为，则依题意有，解得故当时，AP与平面BB1D1D所
