《高三数学选修（II） 数学归纳法人教版知识精讲（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学选修（II） 数学归纳法人教版知识精讲（通用）（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高三数学选修 高三数学选修 II 数学归纳法数学归纳法人教版人教版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 高三数学选修 II 数学归纳法 学习指导 数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种重要方法 证明原理与步骤 1 0 证明当 命题中最小的正整数 时命题成立nn 2 0 假设当时命题成立nk knkN 由此证明当时命题也成立nk 1 则由 知对所有的正整数 原命题均成立 12 0 nn 例题分析例题分析 例 1 用数学归纳法证明 1 1 2 1 3 1 4 1 21 1 2 1 1 1 2 1 2 nnnnn nN 证明 111 1 2 1 2 1 2 当时 左边右边n 左边右边 即等式成
2、立 21 假设当时nk kkN 1 1 2 1 3 1 4 1 21 1 2 1 1 1 2 1 2 kkkkk 当时nk 1 1 1 2 1 3 1 4 1 21 1 2 1 21 1 22 1 1 1 2 1 2 1 21 1 22 1 2 1 3 1 21 1 22 kkkk kkkkk kkkk 等式成立 由 知 等式成立12 例 2 已知中 aaSa a nN nnnn n 02 1 用数学归纳法证明 annnN n 1 证明 11 2 1 0 1 1 11 1 11 1 当时 由na Sa a Sa a nn 11111成立 21 假设当时 nkakk k 当时nk 1 aSS k
3、kk 11 1 2 11 1 1 a a a a k k k k a a kk kk k k 1 1 1 1 1 1 0 aka kk 1 2 1 210 a kk kk a kk11 244 2 10 即时成立nk 1 由 知成立121annnN n 例 3 设 用数学归纳法证明且pppnp nnN n 10112 证明 12112120 22 当时 成立npppp p 211 假设时 nkpkp k 当时nk 1 11111 1 pppkpp kk 11110 22 kpkpkpkp 所以成立 由 知 原不等式成立12 例 4 用数学归纳法证明能被 整除nn nN 3 56 证明 1151
4、516 3 当 成立nnn 256 3 假设时 能被 整除nkkk 当时nk 1 kkkkkkkkk k 151331555316 3323 31661k kk k 能被 整除 为偶数 由假设知 能被 整除成立kkk k 3 53166 由 知 命题成立12 例 5 证明能被 整除358 4121nn 证明 1135368468 53 当时 原式成立n 2358 4121 假设时 能被 整除nk kk 当时nk 1 353355 4523414212kkkk 33355535 335553 335565 414421212421 441212124 4412121 kkkk kkk kkk 由
5、假设知 能被 8 整除 由 知命题成立12 例 6 证明凸 边形的对角线条数为nf nn nn 1 2 34 证明 1442 1 2 4 432 当时 左边 右边nf 所以成立 24 1 2 3 假设时 nk kf kk k 当时nk 1 f kf kk k kkkk 121 1 2 31 1 2 12 成立 由 知命题成立2 模拟试题模拟试题 1 用数学归纳法证明 1 24 1 46 1 68 1 22241 nn n n 2 用数学归纳法证明 12132121 1 6 12 nnnnnn nn 3 用数学归纳法证明对于的整数能被 133 整除 n 0An nn 1112 221 4 平面内
6、有 n 个圆 其中每两个圆都相交于两点 且每三个圆都不相交于同一点 求证 这 n 个圆把平面分成部分 nn 2 2 参考答案参考答案 http 1 证明 当时 左边 右边1 n 1 1 2 22 1 8 1 42 1 8 所以成立 假设当时成立 即2 nk 1 24 1 22241 kk k k 当时 nk 1 1 24 1 222 1 21 24 41 1 412 1 421 1 42 2 kkkk k kkk k kk k k 成立 由 知等式成立2 2 证明 当时 左 右1 n 1 1 1 6 231 所以成立 假设时成立 即2 nk 121121 1 6 12 kkkkk kk 当时n
7、k 1 112111 1 12111231 1 6 12 21 2 1 6 123 kkk kkkk k kk kk kkk 成立 由 知等式成立2 3 证明 当时 成立1 n 0A0 2 1112133 假设时 能被 133 整除2 nk k 0Ak kk 1112 221 当时 nk 1 Ak kkkk 1 3232212 111211111212 111111 12121211 12 11 1112121211 11 1112133 12 22121221 221212 22121 kkkk kkk kkk 能被 133 整除 由 知命题成立 2 4 证明 当时 1 n 2f 242224 2 又 所以成立 假设时 2 nk f kkk 2 2 当时nk 1 f kf kkk 122 增加了部分 kkk kk 2 2 22 112 成立 由 知命题成立2
