高三数学等差数列知识精讲（通用）

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1、高三数学等差数列【本讲主要内容】 等差数列概念及性质、等差数列的通项公式、前n项和公式【知识掌握】【知识点精析】 1. 等差数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。例如数列4，1，2，5，；数列，0，1，都是等差数列。它们的公差分别是3，。 2. 等差数列的性质：由等差数列的定义，可以得出等差数列的常用的一些基本性质，如在等差数列an中，若pqmn（p、q、m、n），则；若（）成等差数列，则仍成等差数列；，仍成等差数列。另外，若a、b、c三数成等差数列，则称b为a、c的等差中项，且。

2、 3. 等差数列的通项公式为，其中a1为等差数列的首项，d为公差，an为通项。此通项公式可以看成是n的一个一次函数的形式，写作（当d0时，是常数函数）。可以证明，当一个数列的通项公式是一次函数形式，即（其中a、b是常数）时，那么这个数列是等差数列。 4. 等差数列的前n项和公式为，其中分别为等差数列的首项和第n项，d为公差，n为项数，Sn为前n项和。从，可以看出Sn是n的一个少常数项的二次函数形式，即（d0时，除外）。反之，可以证明，当前n项和（a，b是常数）时，数列an是等差数列。【解题方法指导】 例1. （1）若数列an是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项起开始为负，

3、则此数列的公差d是多少？ （2）已知数列an中，又数列为等差数列，求； （3）在等差数列an中，若，若，求k的值。 解：（1）设 依题意， 公差d4 （2）设 依题意， 是等差数列，设其公差为d ，解得 ， （3） 又 ， 设数列的公差为d，则 解得 k18 评述：本例题主要讲述通项公式的应用和等差数列一些性质的应用。要理解好等差数列的概念、性质，有时还可灵活运用。如例中第（2）小题由，直接可以得，。而且的通项公式也可以写成或，可以不必求出，例中第（3）小题也一样，由，直接可得，然后由得k18。 例2. 已知为等差数列，Sn为其前n项和。 （1）若，求S23； （2）若前12项和为354，前1

4、2项中奇数项与偶数项的和之比为27：32，求公差d。 （3）若前4项和为21，末尾4项和为67，前n项和为286，试求项数n。 解：（1） ， （2）前12项中偶数项的和S偶与奇数项的和S奇之差为6d 即 又 由、解得d5 （3） ，即11n286 n26 例3. （2000年全国高考文科卷）设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知，Tn为数列的前n项和，求Tn。 解题思路分析：由已知，当n7时，S77，当n15时，S1575 所以可以列式，从而求出 所以 又，判断这个数列是什么数列，由 可以知道是等差数列，由，公差 代入求和公式即可得到【考点突破】【考点指要】 等差数列的问题在高考题

5、中出现的很多，不说与等比数列及其它知识综合，就只是等差数列的问题在05年各省市的高考题中，如全国卷二、福建卷、湖南卷、江苏卷等卷中都有，06年的高考题中在选择、填空题中占的份量就更多，至少有九份试卷中出现等差数列的问题，所以掌握好等差数列基础知识很重要。【典型例题分析】 例4. （2020年北京文科卷） 设等差数列an的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn （I）若a110，S1498，求数列an的通项公式； （II）若，求所有可能的数列an的通项公式。 解：（I）， 又 an的通项公式是； （II）由 即 由得。 由得。 于是 将代入、得，故a111或a112 所以，所有可能的数列an的

6、通项公式是 an12n和an13n，n1，2，3， 评述：本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式的基础知识，又综合了不等式的有关知识，难度不大。 例5. （2020年江苏高考题）设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a26，a311，且，n1，2，3，其中A、B为常数。 （I）求A与B的值； （II）证明数列an为等差数列； （III）证明不等式对任何正整数m、n都成立。 解：（I）由已知，得， 由知 ，即， 解得A20，B8 （II）由（I）得， 所以 ，得 所以 ，得 因为 所以 又因为 所以 即 ， 又 所以数列an为等差数列 （III）证明：由（II）知 要证 只需证 故只要证 即

7、只要证 所以命题得证。 评述：本例第（I）、（II）问主要考查等差数列的基础知识，特别是数列前n项和Sn与数列通项an的关系，其中用式，式的这种方法要学会，它是使问题转化后得以解决的重要手段。本例第（III）问是在得知数列an是等差数列后，代入数列的通项公式后，用证明不等式的常用方法，如分析法、放缩法及重要不等式的性质进行证明的。【综合测试】一. 选择题 1. （06年福建文科卷）在等差数列an中，已知，则等于（ ） A. 40B. 42C. 43D. 45 2. （06年广东理科卷）已知某等差数列共10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ） A. 2B. 3C. 4D.

8、5 3. （04年全国卷）设数列an是等差数列，且，Sn是数列前n项和，则（ ） A. S4S5B. C. D. 4. （06年江西文科卷）在各项不为零的等差数列an中，若，则（ ） A. 2B. 0C. 1D. 2 5. （06年全国文科卷二）已知等差数列中，则前10项和（ ） A. 100B. 210C. 380D. 400 6. （06年天津理科卷）已知数列an、bn都是公差为1的等差数列，其首项分别为，且，设，则数列Cn的前10项和等于（ ） A. 55B. 70C. 85D. 100 7. 等差数列中，则数列前13项的和为（ ） A. 13B. 52C. 26D. 156 8. 已知

9、两个等差数列5，8，11，及3，7，11，均有100项，它们数值相同项的和为（ ） A. 3887B. 3899C. 3863D. 3875二. 填空题 9. （06年浙江理科卷）设Sn是等差数列an的前n项和，若S510，S105，则公差为_。 10. 公差不为零的等差数列an中，已知，且，则k_。 11. （01年上海理科卷）设数列an的通项公式为，则_。 12. 若等差数列an的公差d0，且为关于x的方程的两根，则的通项公式_。 13. 若1既是a2与b2的等差中项，又是与的等差中项，则_。 14. 数列为等差数列，前n项和为Sn，且S918，若Sn240，则n_。三. 解答题 15.

10、（04年全国文科卷）设数列an是公差不为零的等差数列，Sn是前n项和，且，S44S2，求数列an的通项公式。 16. 在数列an中，Sn是数列的前n项和，已知，求和。 17. 在数列an中，Sn是它的前n项和，且n2时，成立，求an。 18. （98年上海卷）若An和Bn分别表示数列an和bn的前n项和，对任意正整数n，。 （I）求数列bn的通项公式； （II）设有抛物线列，抛物线的对称轴平行于y轴，顶点为（an，bn），且通过点Dn（0，），过点Dn且与抛物线Cn相切的直线斜率为kn，求极限； （III）设集合，若等差数列Cn的任一项，C1是中的最大数，且，求Cn的通项公式。综合测试答案一.

11、 选择题 1. B 提示：先由，求出 再计算 2. B 提示：偶数项之和奇数项之和5公差。 3. B 提示：先由，可求出 所以 即 4. A 提示：因为，所以已知式变为。又 5. B 6. C 提示： 即， 即， Cn的前10项和为 7. C 提示：， 所以已知式变为 即 所以 8. D 提示：两数列的通项公式分别为 若， 又，所以m3，6，9，75。 可得二. 填空题 9. 1 提示：，解得d1 10. 7 提示： 11. 153 提示：均大于0 12. 2n 提示：由已知， 13. 1或 提示：由，可得ab2ab， 从而得 解得 或 14. 15 提示： 又 三. 解答题 15. 解： 解得 数列的通项公式 16. 解： 时， ， ，只有 an是等差数列，公差为2，又， ， 17. 解：由已知，得 ， 时， 18. 解：（I）， 从而 （II）设抛物线Cn的方程为 因为在Cn上，a1 Cn的方程为 Dn处切线的斜率 （III）对任意 Y 中的最大数，C117 设等差数列Cn的公差为d，则 ，得