《高三数学等比数列人教实验B版（文）知识精讲（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学等比数列人教实验B版（文）知识精讲（通用）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高三数学等比数列高三数学等比数列人教实验人教实验 B B 版 文 版 文 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 等比数列 二 教学内容 等比数列的定义 通项 前 n 项和及其应用 三 教学重点 等比数列 四 课标要求 1 通过实例 理解等比数列的概念 2 探索并掌握等比数列的通项公式与前 n 项和的公式 3 能在具体的问题情境中 发现数列的等比关系 并能用有关知识解决相应的问题 体 会等比数列与指数函数的关系 五 命题走向 等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位 是高考出题的重点 客观性的试 题考查等比数列的概念 性质 通项公式 求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用 对基本的运算要求
2、比较高 解答题大多以数列知识为工具 预测 08 年高考对本讲的考查为 1 题型以等比数列的公式 性质的灵活应用为主的 1 2 道客观题目 2 关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点 3 解决问题时注意数学思想的应用 像通过逆推思想 函数与方程 归纳猜想 等 价转化 分类讨论等 它将能灵活考查考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力 教学过程 一 基本知识回顾 1 等比数列定义 一般地 如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 那么 这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母表示 q 0 q 即 注意 从第二项起 常数 等比数列的公比和
3、项都 1n a 0 n aq q q 不为零 2 等比数列通项公式为 0 1 1 1 qaqaa n n 说明 1 由等比数列的通项公式可以知道 当公比 q 1 时该数列既是等比数列也是 等差数列 2 由等比数列的通项公式知 若为等比数列 则 n a m n m n a q a 3 等比中项 如果在中间插入一个数 使成等比数列 那么叫做的等比中ba与GbGa Gba与 项 两个符号相同的非零实数 都有两个等比中项 4 等比数列前 n 项和公式 一般地 设等比数列的前 n 项和是 当 123 n a a aa n S 123n aaaa 时 或 当 q 1 时 错位相减法 1 q q qa S
4、n n 1 1 11 1 n n aa q S q 1 naSn 说明 1 和各已知三个可求第四个 2 注意求和公式中 n Snqa 1nn Sqaa 1 是 通项公式中是 不要混淆 3 应用求和公式时 必要时应讨论 n q 1 n q1 q 的情况 1 q 典型例题典型例题 例 1 公差为 0 的等差数列是等比数列 公比为的等比数列一定是递减数列 2 1 a b c 三数成等比数列的充要条件是 b2 ac a b c 三数成等差数列的充要条件是 2b a c 以上四个命题中 正确的有 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 解解 四个命题中只有最后一个是真命题 选 A 命题 1 中未考虑各
5、项都为 0 的等差数列不是等比数列 命题 2 中可知 an 1 an an 1 an未必成立 当首项 a1 0 时 anan 即 2 1 2 1 an 1 an 此时该数列为递增数列 命题 3 中 若 a b 0 c R 此时有 但数列 a b c 不是等比数列 所以应是acb 2 必要而不充分条件 若将条件改为 b 则成为不必要也不充分条件 ac 点评点评 该题通过选择题的形式考查了有关等比数列的一些重要结论 为此我们要注意 一些有关等差数列 等比数列的重要结论 例 2 命题 1 若数列 an 的前 n 项和 Sn an b a 1 则数列 an 是等比数列 命题 2 若数列 an 的前 n
6、 项和 Sn an2 bn c a 0 则数列 an 是等差数列 命题 3 若数列 an 的前 n 项和 Sn na n 则数列 an 既是等差数列 又是等比数列 上述三个命题中 真命题有 A 0 个B 1 个C 2 个D 3 个 解解 由命题 1 得 a1 a b 当 n 2 时 an Sn Sn 1 a 1 an 1 若 an 是等比数 列 则 a 即 a 所以只有当 b 1 且 a 0 时 此数列才是等比数列 1 2 a a ba aa 1 由命题 2 得 a1 a b c 当 n 2 时 an Sn Sn 1 2na b a 若 an 是等差数列 则 a2 a1 2a 即 2a c 2
7、a 所以只有当 c 0 时 数列 an 才是等差数列 由命题 3 得 a1 a 1 当 n 2 时 an Sn Sn 1 a 1 显然 an 是一个常数列 即公 差为 0 的等差数列 因此只有当 a 1 0 即 a 1 时数列 an 才又是等比数列 点评点评 等比数列中通项与求和公式间有很大的联系 上述三个命题均涉及到 Sn与 an的 关系 它们是 an 正确判断数列 an 是等差数列或等比数列 都必 1 1 nn SS a 时当 时当 2 1 n n 须用上述关系式 尤其注意首项与其他各项的关系 上述三个命题都不是真命题 选择 A 例 3 2000 全国理 20 已知数列 cn 其中 cn
8、2n 3n 且数列 cn 1 pcn 为等比数列 求常数 p 设 an bn 是公比不相等的两个等比数列 cn an bn 证明数列 cn 不是等比数列 解 解 因为 cn 1 pcn 是等比数列 故有 cn 1 pcn 2 cn 2 pcn 1 cn pcn 1 将 cn 2n 3n代入上式 得 2n 1 3n 1 p 2n 3n 2 2n 2 3n 2 p 2n 1 3n 1 2n 3n p 2n 1 3n 1 即 2 p 2n 3 p 3n 2 2 p 2n 1 3 p 3n 1 2 p 2n 1 3 p 3n 1 整理得 2 p 3 p 2n 3n 0 解得 p 2 或 p 3 6 1
9、 证明 设 an bn 的公比分别为 p q p q cn an bn 为证 cn 不是等比数列只需证 c22 c1 c3 事实上 c22 a1p b1q 2 a12p2 b12q2 2a1b1pq c1 c3 a1 b1 a1p2 b1q2 a12p2 b12q2 a1b1 p2 q2 由于 p q p2 q2 2pq 又 a1 b1不为零 因此 c22 c1 c3 故 cn 不是等比数列 点评点评 本题主要考查等比数列的概念和基本性质 推理和运算能力 例 4 2020 京春 21 如图 1 在边长为 l 的等边 ABC 中 圆 O1为 ABC 的内切圆 圆 O2与圆 O1外切 且与 AB
10、BC 相切 圆 On 1与圆 On外切 且与 AB BC 相切 如此无限继续下去 记圆 On的面积为 an n N 证明 an 是等比数列 图 1 证明 记 rn为圆 On的半径 则 r1 tan30 sin30 所以 2 l l 6 3 nn nn rr rr 1 1 2 1 rn rn 1 n 2 3 1 于是 a1 r12 故 an 成等比数列 9 1 12 2 11 2 n n n n r r a al 点评点评 该题考查实际问题的判定 需要对实际问题情景进行分析 最终根据对应数值 关系建立模型加以解析 例 5 一个等比数列有三项 如果把第二项加上 4 那么所得的三项就成为等差数列 如
11、 果再把这个等差数列的第三项加上 32 那么所得的三项又成为等比数列 求原来的等比数 列 解解 设所求的等比数列为 a aq aq2 则 2 aq 4 a aq2 且 aq 4 2 a aq2 32 解得 a 2 q 3 或 a q 5 9 2 故所求的等比数列为 2 6 18 或 9 2 9 10 9 50 点评点评 利用等比数列的基本量 先求公比 后求其它量 这是解等差数列 等比qa 1 数列的常用方法 其优点是思路简单 实用 缺点是有时计算较繁 例 6 2020 年陕西卷 已知正项数列 其前项和满足 n an n S 且成等比数列 求数列的通项 2 1056 nnn Saa 1531 a
12、aa n a n a 解解 10Sn an2 5an 6 10a1 a12 5a1 6 解之得 a1 2 或 a1 3 又 10Sn 1 an 12 5an 1 6 n 2 由 得 10an an2 an 12 6 an an 1 即 an an 1 an an 1 5 0 an an 1 0 an an 1 5 n 2 当 a1 3 时 a3 13 a15 73 a1 a3 a15不成等比数列 a1 3 当 a1 2 时 a3 12 a15 72 有 a32 a1a15 a1 2 an 5n 3 点评点评 该题涉及等比数列的求和公式与等比数列通项之间的关系 最终求得结果 例 7 1 2020
13、 年辽宁卷 在等比数列中 前项和为 若数列 n a 1 2a n n S 也是等比数列 则等于 1 n a n S A B C D 1 22 n 3n2n31 n 2 2020 年北京卷 设 则等于 4710310 22222 n f nnN f n A B C D 2 81 7 n 1 2 81 7 n 3 2 81 7 n 4 2 81 7 n 3 1996 全国文 21 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 S3 S6 2S9 求数列 的公比 q 解解 1 因数列为等比 则 因数列也是等比数列 则 n a 1 2 n n aq 1 n a 22 12112221 2 1 1 1
14、22 12 01 nnnnnnnnnnnn n aaaaaa aaaaaa aqqq 即 所以 故选择答案 C 2 n a 2 n Sn 2 D 3 解 若 q 1 则有 S3 3a1 S6 6a1 S9 9a1 因 a1 0 得 S3 S6 2S9 显然 q 1 与题设矛盾 故 q 1 由 S3 S6 2S9 得 整理得 q3 2q6 q3 1 q qa q qa q qa 1 1 2 1 1 1 1 9 1 6 1 3 1 0 由 q 0 得 2q6 q3 1 0 从而 2q3 1 q3 1 0 因 q3 1 故 q3 所以 2 1 q 2 4 3 点评点评 对于等比数列的求和问题要先分清
15、数列的通项公式 对应好首项和公比求出最 终结果即可 例 8 2020 全国文 17 设等比数列的公比 前项和为 已知 n a1q n n S 求的通项公式 342 25aSS n a 解解 由题设知 1 1 1 0 1 n n aq aS q 则 由 得 42 15 1 qq 22 4 1 0qq 2 2 1 1 0qqqq 因为 解得或 1q 1q 2q 当时 代入 得 通项公式 1q 1 2a 1 2 1 n n a 当时 代入 得 通项公式 2q 1 1 2 a 1 1 2 2 n n a 点评点评 本题考查等比数列的前 n 项和公式和通项公式 其中包含了方程和分类讨论的 思想 例 9
16、1 2020 江苏 3 在各项都为正数的等比数列 an 中 首项 a1 3 前三项和为 21 则 a3 a4 a5 A 33B 72C 84 D 189 2 2000 上海 12 在等差数列 an 中 若 a10 0 则有等式 a1 a2 an a1 a2 a19 n n 19 n N 成立 类比上述性质 相应地 在等比数列 bn 中 若 b9 1 则有等式 成立 解解 1 答案 C 解 设等比数列 an 的公比为 q q 0 由题意得 a1 a2 a3 21 即 3 3q 3q2 21 q2 q 6 0 求得 q 2 q 3 舍去 所以 a3 a4 a5 q2 a1 a2 a3 4故 8421 选 C 2 答案 b1b2 bn b1b2 b17 n n 17 n N 解 在等差数列 an 中 由 a10 0 得 a1 a19 a2 a18 an a20 n an 1 a19 n 2a10 0 所以 a1 a2 an a19 0 即 a1 a2 an a19 a18 an 1 又 a1 a19 a2 a18 a19 n an 1 a1 a2 an a19 a18 an 1 a1 a2
