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1、高三数学第二轮专题复习三不等式（文）人教实验版（B）【本讲教育信息】一. 教学内容：高三数学第二轮专题复习三 不等式二. 具体过程：【高考要求】（1）不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式（组）的实际背景.（2）一元二次不等式会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.（3）二元一次不等式组与简单的线性规划问题会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划
2、问题，并能加以解决.（4）基本不等式：了解基本不等式的证明过程.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.【热点分析】1. 重视对基础知识的考查，设问方式不断创新.重点考查四种题型：解不等式，证明不等式，涉及不等式应用题，涉及不等式的综合题，所占比例远远高于在课时和知识点中的比例.重视基础知识的考查，常考常新，创意不断，设问方式不断创新，图表信息题，多选型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青睐，值得引起我们的关注.2. 突出重点，综合考查，在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法
3、的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重.在全面考查函数与不等式基础知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的考查力度，是高考对不等式考查的又一新特点.3. 加大推理、论证能力的考查力度，充分体现由知识立意向能力立意转变的命题方向.由于代数推理没有几何图形作依托，因而更能检测出学生抽象思维能力的层次.这类代数推理问题常以高中代数的主体内容函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为知识背景，并与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高，有利于高考选拔功能的充分发挥.对不等式的考查更能体现出高观点、低设问、深入浅
4、出的特点，考查容量之大、功能之多、能力要求之高，一直是高考的热点.4. 突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识.不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点,考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用。高考试题中有以下几个明显的特点：（1）不等式与函数、数列、几何、导数,实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多，单独考查不等式的试题题量很少。（2）选择题,填空题和解答题三种题型中均有各种类型的不等式题，特别是应用题和压轴题几乎都与不等式有关。【复习建议】1. 力求熟练掌握不等式的性质，以最大限度地减少不等式解题中可能出现的失误。 2. 对于解不等式，一
5、般不需超出教材上的例题和习题的难度，也不要超出教材上的例题和习题所涉及的范围，但对于需要分类求解的不等式应给予充分的注意，而这类习题的分类一般不超过两层。3. 熟练掌握利用平均值不等式求最值的方法及其使用条件，并重视在几何和实际问题中的应用。4. 通过训练,使学生掌握等价转化思想和化归思想,培养学生的代数推理能力,提高学生应用不等式知识解决问题的能力.5. 重视数学思想方法的复习。根据本章上述的命题趋向我们迎考复习时应加强数学思想方法的.在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习.解不等式的过程是一个等价转化的过程，通过等价转化可简化不等式（组），以便快速、准确求解.加强分类讨论思想的
6、.在解不等式或证不等式的过程中，如含参数等问题，一般要对参数进行分类讨论.复习时，学生要学会分析引起分类讨论的原因，合理的分类，做到不重不漏.加强函数与方程思想在不等式中的应用训练.不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化.如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法.在不等式的证明中，加强化归思想的复习，证不等式的过程是一个把已知条件向要证结论的一个转化过程，既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力，正因为证不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起我们的足够重视.利用函数f（x）=x （a0）的单调性解决有关最值问题是近几年高考
7、中的热点，应加强这方面的训练和指导.6. 强化不等式的应用。高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键.因此，在复习时应加强这方面的训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力。如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误.【典型例题】例1. 解不等式：解：原不等式可化为：0，即（a1）x+（2a）（x2）0.当a=1时，原不等式为x20即x2.当a1时，原不等式与（x）（x2）0同解.若2，
8、即0a1时，与a1条件不符，原不等式无解；若2，即a0或a1，于是a1时原不等式的解为（，）（2，+）.当a1时，若a0，解集为（，2）；若0a1，解集为（2，）综上所述：当a1时解集为（，）（2，+）；当a=1时，原不等式为x20即x2.当0a1时，解集为（2，）；当a=0时，解集为；当a0时，解集为（，2）.点评：解含参数的不等式关键在于找分类讨论的标准.例2. 设不等式x22ax+a+20的解集为M，如果M1，4，求实数a的取值范围.解：M1，4有n种情况：其一是M=，此时0；其二是M，此时0，分三种情况计算a的取值范围.设f（x）=x2 2ax+a+2，有=（2a）2（4a+8）=4（
9、a2a2）（1）当0时，1a2，M=1，4（2）当=0时，a=1或2.当a=1时M=11，4；当a=2时，M=21，4.（3）当0时，a1或a2.设方程f（x）=0的两根x1，x2，且x1x2，那么M=x1，x2，M1，41x1x24即，解得：2a，M1，4时，a的取值范围是.点评：本题考查了一元二次不等式、二次函数和一元二次方程根的关系和分类讨论的思想.例3. 设集合，若（a，b）M，且对M中的其它元素（c，d），总有ca，则a=_. 分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口. 怎样理解“对M中的其它元素（c，d），总有ca”？M中的元素又有什么特点？解：依题可知，本题等价
10、于求函数x=f（y）=（y+3）|y-1|+（y+3）（2）当1y3时，所以当y=1时，= 4. 点评：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示其数学实质. 即求集合M中的元素满足关系式例4. 已知非负实数，满足且，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 解：画出图象，由线性规划知识可得，选D例5. 已知f（x）是定义在1，1上的奇函数，且f（1）=1，若m、n1，1，m+n0时0.（1）用定义证明f（x）在1，1上是增函数；（2）解不等式：f（x+）f（）；（3）若f（x）t22at+1对所有x1，1，a1，1恒成立，求实数t的取值范围.解：（1）证明：
11、任取x1x2，且x1，x21，1，则f（x1）f（x2）=f（x1）+f（x2）=（x1x2）1x1x21，x1+（x2）0，由已知0，又 x1x20，f（x1）f（x2）0，即f（x）在1，1上为增函数.（2）解：f（x）在1，1上为增函数， 解得：x|x1，xR（3）解：由（1）可知f（x）在1，1上为增函数，且f（1）=1，故对x1，1，恒有f（x）1，所以要f（x）t22at+1对所有x1，1，a1，1恒成立，即要t22at+11成立，故t22at0，记g（a）=t22at，对a1，1，g（a）0，只需g（a）在1，1上的最小值大于等于0，g（1）0，g（1）0，解得，t2或t=0或t
12、2.t的取值范围是：t|t2或t=0或t2.例6 .已知不等式的解集为M解：根据复合函数的单调性得：例7.用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如下图）设容器高为h米，盖子边长为a米，（1）求a关于h的解析式；（2）设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值（求解本题时，不计容器厚度）解：（1）设h是正四棱锥的斜高，由题设可得： 消去（2）由 （h0）得：所以V，当且仅当h=即h=1时取等号故当h=1米时，V有最大值，V的最大值为立方米.例8. 若二次函数y=f（x）的图象经过原点，且1f（-1）2，3f（1）4，求f（-2）的取值范围。分析：
13、要求f（-2）的取值范围，只需找到含有f（-2）的不等式（组）. 由于y=f（x）是二次函数，所以应先将f（x）的表达形式写出来. 即可求得f（-2）的表达式，然后依题设条件列出含有f（-2）的不等式（组），即可求解. 解：因为y=f（x）的图象经过原点，所以可设y=f（x）=ax2+bx. 于是解法一（利用基本不等式的性质）不等式组（）变形得（）所以f（-2）的取值范围是6，10. 解法二（数形结合）建立直角坐标系aob，作出不等式组（）所表示的区域，如图中的阴影部分. 因为f（-2）=4a-2b，所以4a-2b-f（-2）=0表示斜率为2的直线系. 如图6，当直线4a-2b-f（-2）=0
14、过点A（2，1），B（3，1）时，分别取得f（-2）的最小值6，最大值10. 即f（-2）的取值范围是：6f（-2）10. 解法三（利用方程的思想）又f（-2）=4a-2b=3f（-1）+f（1），而1f（-1）2，3f（1）4， 所以 33f（-1）6. +得43f（-1）+f（1）10，即6f（-2）10. 点评：（1）在解不等式时，要求作同解变形. 要避免出现以下这种错解：2b，84a12，-3-2b-1，所以 5f（-2）11. （2）对这类问题的求解关键的一步是，找到f（-2）的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题. 若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高. 例9. 数列由下列条件确定：（1）证明：对于,（2）证明：对于. 证明：（1）（2）当时，=。例10. 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量
