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1、高三数学第一轮复习：三角恒等变形及应用人教实验B版（文）【本讲教育信息】一. 教学内容：三角恒等变形及应用二. 课标要求：1. 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2. 能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3. 能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。三. 命题走向：从近几年的高考考查的方向来看，这部分的高考题以选择、解答题出现的机会较多，有时候也以填空题的形式出现，它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考查，主要题型有三角函数求值
2、，通过三角式的变换研究三角函数的性质。本讲内容是高考复习的重点之一，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明是三角变换的基本问题。历年高考中，在考查三角公式的掌握和运用的同时，还注重考查思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力。【教学过程】一、基本知识点回顾1. 两角和与差的三角函数；。2. 二倍角公式；。3. 三角函数式的化简（1）常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角；三角公式的逆用等。（2）化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数。I. 降幂公式
3、；。II. 辅助角公式，。4. 三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。5. 三角恒等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（
4、2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。【典型例题】例1. 已知，求cos。解：由已知sin+sin=1，cos+cos=0，22得 2+2cos；cos。点评：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误是利用方程组解sin、cos、sin、cos，但未知数有四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在于没有注意到所求式与已知式的关系本题关键在于化和为积促转化，“整体对应”巧应用。例2. 已知是方程的两个实根，求。分析：由韦达定理可得到进而可以求出的值，再将所求值的三角函数式用tan表示便可知其值。解一：由韦达定理得tan
5、，所以tan解二：由韦达定理得tan，所以tan，。点评：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答本题的知识“最近发展区”。（2）运用两角和与差三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。（3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如例3. 化简下列各式：（1），（2）。分析：（1）若注意到化简式
6、是开平方根和2以及其范围不难找到解题的突破口；（2）由于分子是一个平方差，分母中的角，若注意到这两大特征，不难得到解题的切入点。解：（1）因为，又因，所以，原式=。（2）原式=。点评：（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2是的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意三个角的内在联系的作用，是常用的三角变换。（2）化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，消元，切割化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧。（3）公式变形，。例4. 若。分析：注意的两变换，就有以下的两种解法。解一：由， 解二：原式点评：此题若将的左边展开成再求cosx，sinx的值，就很繁琐，
7、把，并注意角的变换2运用二倍角公式，问题就化难为易，化繁为简所以在解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角，如，等。例5. 已知正实数a,b满足。分析：从方程的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以a，则已知等式可化为关于程，从而可求出，若注意到等式左边的分子、分母都具有的结构，可考虑引入辅助角求解。解一：由题设得解二：解三：点评：以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模式联想，引入辅助角，技巧性较强，但辅助角公式，或在历年高考中使用频率是相当高的，应加以关注；解法三利用了换元法，但实质上是综合了解法一和
8、解法二的解法优点，所以解法三最佳。例6. （2000全国理，17）已知函数ycos2xsinxcosx1，xR.（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图象可由ysinx（xR）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?（1）解：ycos2xsinxcosx1（2cos2x1）（2sinxcosx）1cos2xsin2x（cos2xsinsin2xcos）sin（2x）y取得最大值必须且只须2x2k，kZ，即xk，kZ。所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为x|xk，kZ。（2）将函数ysinx依次进行如下变换：把函数ysinx的图象向左平移，得到函数ysin（x）的图象；把
9、得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数ysin（2x）的图象；把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数ysin（2x）的图象；把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数ysin（2x）的图象；综上得到函数ycos2xsinxcosx1的图象。点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力。例7. （2000全国文，17）已知函数ysinxcosx，xR.（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图象可由ysinx（xR）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?解：（1）ysinxcosx2（sinx
10、coscosxsin）2sin（x），xRy取得最大值必须且只须x2k，kZ，即x2k，kZ。所以，当函数y取得最大值时，自变量x的集合为x|x2k，kZ（2）变换的步骤是：把函数ysinx的图象向左平移，得到函数ysin（x）的图象；令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y2sin（x）的图象；经过这样的变换就得到函数ysinxcosx的图象。点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力。例8. （06北京理，15）已知函数. （）求的定义域； （）设为第四象限的角，且，求的值。解：（）由 得， 故的定义域为（）因为，且是第四象
11、限的角,所以故。点评：本题作为高考题的第一大题出现，考查基础的三角函数的性质和三角变换.例9. （06重庆理，17）设函数f（x）=cos2x+sinxcosx+a（其中0,aR）,且f（x）的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为。（）求的值；（）如果f（x）在区间上的最小值为，求a的值。解：（I）依题意得 . （II）由（I）知，。又当时，故，从而在区间上的最小值为，故例10. （06上海理，17）求函数2的值域和最小正周期。解：y=cos（x+） cos（x）+sin2x=cos2x+sin2x=2sin（2x+），函数y=cos（x+） cos（x）+sin2x的值域是2,2,最小正周期
12、是。例11. 已知向量（I）若求（II）求的最大值。解：（1）；当=1时有最大值,此时，最大值为。点评：本题主要考查以下知识点：1、向量垂直转化为数量积为0；2，特殊角的三角函数值；3、三角函数的基本关系以及三角函数的有界性；4.已知向量的坐标表示求模，难度中等，计算量不大。例12. 有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，求这个内接矩形的最大面积. 分析：本题入手要解决好两个问题，（1）内接矩形的放置有两种情况，如图所示，应该分别予以处理；（2）求最大值问题这里应构造函数，怎么选择便于以此表达矩形面积的自变量。解：如图（1
13、），设FOA=，则FGRsin，。又设矩形EFGH的面积为S，那么又060，故当cos（260）1，即=30时，如图（2），设FOA，则EF2Rsin（30），在OFG中，OGF150设矩形的面积为S。那么SEFFG4R2sinsin（30）2R2cos（230）cos30又030，故当cos（230）1。思维小结从近年高考的考查方向来看，这部分常常以选择题和填空题的形式出现，有时也以大题的形式出现，分值约占5%因此能否掌握好本重点内容，在一定程度上制约着在高考中成功与否。1. 两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点：（1）不仅对公式的正用逆用
14、要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；（2）善于拆角、拼角如，等；（3）注意倍角的相对性（4）要时时注意角的范围（5）化简要求熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等。2. 证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。3. 解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。4. 加强三角函数应用意识的训练1999年高考理科第20题实质是一个三角问题，由于考生对三角函数的概念认识肤浅，不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间建立联系，造成思维障碍，思路受阻.实际上，三角函数是以角为自变量的函数，也是以实数为自变量的函数，它产生于生产实践，是客观实际的抽象，同时又广泛地应用于客观实际，故应培养实践第一的观点.总之，三角部
