《高三数学第一轮复习讲义 棱柱 棱锥（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学第一轮复习讲义 棱柱 棱锥（通用）（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高三数学第一轮复习讲义 棱柱 棱锥【知识归纳】 1、棱柱：（1）棱柱的分类：按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱（侧棱不垂直于底面）和直棱柱（侧棱垂直于底面），其中底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱。按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形，分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，；（2）棱柱的性质：棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。2、平行六面体：（1）定义：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；（2）几类特殊的平行六面体
2、：平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体；（3）性质：平行六面体的任何一个面都可以作为底面；平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。3、棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比，截得小棱锥的体积与原来棱锥的体积比等于顶点至截面距离与棱锥高的立方比。4、正棱锥：（1）定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。特别地，侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正
3、四面体。（2）性质：正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等。正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的内切圆的半径）、侧棱、侧棱在底面的射影（底面的外接圆的半径）、底面的半边长可组成四个直角三角形。如图，正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：，其中分别表示底面边长、侧棱长、侧面与底面所成的角和侧棱与底面所成的角。5、侧面积（各个侧面面积之和）：（1）棱柱：侧面积直截面（与各侧棱都垂直相交的截面）周长侧棱长，特别地，直棱柱的侧面积底面周长侧棱长。（2）正棱锥：正棱锥的侧面积底面周长斜高。提醒：全面积（也称表面积）是各个表面面积之和，故棱柱的全面积侧面
4、积2底面积；棱锥的全面积侧面积底面积。6、体积：（1）棱柱：体积底面积高，或体积直截面面积侧棱长，特别地，直棱柱的体积底面积侧棱长；三棱柱的体积（其中为三棱柱一个侧面的面积，为与此侧面平行的侧棱到此侧面的距离）。（2）棱锥：体积底面积高。特别提醒：求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体。补形：三棱锥三棱柱平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是 （答：1：2：3）和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等. 【基础训练】（1）斜三棱柱A1B1C1ABC，各棱长为，A1B=A1C=，则侧面BCC1B1是_形，棱柱的高为_；（2）下列关于四棱柱的四个命
5、题：若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直棱柱；若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直棱柱。其中真命题的为_。（3）长方体三度之和为a+b+c6，全面积为11，则其对角线为_（4）若一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积是底面积的，则锥体被截面截得的一个小棱锥与原棱锥体积之比为_（5）四面体中，有如下命题：若，则；若分别是的中点，则的大小等于异面直线与所成角的大小；若点是四面体外接球的球心，则在面上的射影是外心；若四个面是全等的三角形，则为正四面体。其中正确的是_（6）在三棱锥的四个面中，
6、最多有_个面为直角三角形；（7）把四个半径为R的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，则上层小球最高处离桌面的距离为_。（8）长方体的高为h，底面积为Q，垂直于底的对角面的面积为M，则此长方体的侧面积为_；（9）斜三棱柱ABC- A1B1C1中，二面角C-A1A-B为120，侧棱AA1于另外两条棱的距离分别为7cm、8cm，AA1=12cm，则斜三棱柱的侧面积为_；（10）若斜三棱柱的高为4，侧棱与底面所成的角为60，相邻两侧棱之间的距离都为5，则该三棱柱的侧面积为_。（11）已知正四棱锥PABCD的高为4，侧棱与底面所成的角为60，则该正四棱锥的侧面积是_；（12）已知正四面体AB
7、CD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则等于_。（13）设长方体的三条棱长分别为a、b、c，若长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，则等于_ _；（14）斜三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，侧棱AA1和AB、AC都成45的角，则棱柱的侧面积为_，体积为_ _。（15）已知棱长为1的正方体容器ABCDA1B1C1D1中，在A1B、A1B1、B1C1的中点E、F、G处各开有一个小孔，若此容器可以任意放置，则装水较多的容积（小孔面积对容积的影响忽略不计）是_ ；（16）在正三棱锥A-BCD中，E、F是AB、BC的中点，EFD
8、E，若BC=，则正三棱锥A-BCD的体积为_ ；（17）已知正三棱锥底面边长为，体积为，则底面三角形的中心到侧面的距离为_ _；（18）在平面几何中有：RtABC的直角边分别为a,b，斜边上的高为h，则。类比这一结论，在三棱锥PABC中，PA、PB、PC两点互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，此三棱锥PABC的高为h，则结论为_（19）用平面去截三棱锥，与三条侧棱交于三点，若，则多面体的体积为_ _； （20）直三棱柱ABCA1B1C1的体积为，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且AP=C1Q，则四棱锥BAPQC的体积为 ；（21）如图的多面体ABC-DEFG中，AB、AC、AD两两
9、垂直，平面ABCDEFG，平面BEFADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则该多面体的体积为_。（22）有下列命题：（）各侧面都是矩形的棱柱是长方体；（）直四棱柱是直平行六面体；（）有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱；（）有两个面互相平行，其余四个面是等腰梯形的六面体是四棱台；（）底面是正多边形的棱锥是正棱锥；其中正确命题的序号是 （23）根据下列条件，填写三棱锥顶点在底面内的射影的位置：（）三条侧棱相等_;（）侧棱与底面所成的角相等_;（）侧面与底面所成的角相等_;（）到三边距离相等且在内部_;（）三条侧棱两两垂直_;（6）_。【典型选讲】【例1】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面P
10、DC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是以ADC为锐角的菱形。（1）试问：当ADC为多大时，有PACD；（2）当PACD时，求面PAB与面PCD所成角的大小。18（1）如图，过P作PHCD于H，平面PCD平面ABCDPH平面ABCD。AH是PA在平面ABCD上的射影，又PC=PDH为CD中点，当时，为正三角形，AHCD，又PH平面ABCDPACD（2）过P作直线。PHl。为所求二面角的平面角又为等腰直角三角形，【例2】三棱柱中，AB=AC=a，BAC=90，顶点在底面ABC上的射影为BC边的中点M。（1）求证：BC垂直于，A，M三点确定的平面；（2）如果三棱锥的体积为，求棱锥侧面与底面A
11、BC所成锐二面角的大小。19（1）连结AM。M是在平面ABC上的射影，平面ABC，BC在平面ABC上，。由AB=AC，M是BC中点，有。BC平面。（2）过M在平面ABC内作于N，连结，则。是侧面与底面ABC所成的锐二面角的平面角。由于三棱锥的高等于的长，又三棱锥的体积为，三角形的面积为，。为等腰直角三角形，M为斜边中点，在中，即侧面与底面ABC所成的锐二面角为60。【例3】已知：如图，四边形ABCD，EADM和MDCF是个三边长为a的全等的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点。求：（1）PQ与AD所成的角的大小；（2）平面EBF与平面ABCD所成锐二面角的正切值；（3）多面体EFM-ABCD
12、的体积。 21（1）过P作PHAE于H，过Q作QNAB于N，连结HN。则。四边形PHNQ是平行四边形。PQ/HN。又，且。则AD平面EAB。而HN平面EAB。而HN平面EAB，ADHN，即ADPQ。PQ与AD所成的角为90。（2）过B作RS/AC交DA的延长线于点R，交DC的延长线于点S。取EF的中点O，连结OB、OQ、QB。正方形ABCD，QBAC。又RS/AC，QBRS。OQ平面ABCD，由三垂线定理可得OBRS。为平面EBF与平面ABCD所成二面角的平面角在中，。平面EBF与平面ABCD所成锐二面角的正切值为。（3）将图形补成一个正方体【例4】如图，甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板，现
13、要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）。（1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；（2）试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论。22（1）将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为2a，高为a的正四棱柱。将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为2a的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一侧面，焊接成一个底面边长为2a，斜高为3a的正四棱锥。（2）正四棱柱的底面边长为2a，高为a，其体积。又正四棱锥的底面边长为2a，
14、高为，其体积。，即，故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大。（说明：裁剪方式不惟一，计算的体积也不一定相等）.三棱锥底面是边长为的正三角形，在侧面的射影是的垂心，且二面角的大小为。（）求证：三棱锥是正三棱锥；（）求侧棱与底面所成的角；（）求侧面与底面所成的角。一个斜三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，若其中一条侧棱和底面三角形两条边都成的角，求这个棱柱的侧面积。【例5】 如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是直角三角形，C90，侧棱与底面成60的角，点B1在底面的射影D为BC的中点，且BC2，(1) 求证平面AB1D平面ABC.(2)求证AC平面BB1C1C.(3)求证异面直线AB1与BC1垂直.(
