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1、高三数学第一轮复习讲义 线线角 线面角【知识点归纳】1、异面直线所成的角：（1）范围：；（2）求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。2、直线和平面所成的角：（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。（2）范围：；（3）求法：作出直线在平面上的射影；（4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。【基础训练】（1）正四棱锥的所有棱长相等，是的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值
2、等于_ _；（2）在正方体AC1中，M是侧棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一点，则OP与AM所成的角的大小为_ _；（3）已知异面直线a、b所成的角为50，P为空间一点，则过P且与a、b所成的角都是30的直线有且仅有_ _条；（4）若异面直线所成的角为，且直线，则异面直线所成角的范围是_ _；（5）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，则AD与平面AA1C1C所成的角为_ _；（6）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点，则棱 A1B1 与截面A1ECF所成的角的余弦值是_ _；（7）是从点引出的三条射
3、线，每两条的夹角都是，则直线与平面所成角的余弦值为_ _；（8）若一平面与正方体的十二条棱所在直线都成相等的角，则sin的值为_ _。【典型例题】 例1.空间四边形ABCD中，AB=CD,AB与CD所成的角为600的角，E、F分别为AD、BC的中点，求EF与AB所成的角FEDCBAPBCA例2.已知ACB=900，且在平面内，PC与CA、CB所成角PCA=PCB=600,求PC与平面所成角。例3.已知等腰DABC中，AC = BC = 2，ACB = 120，DABC所在平面外的一点P到三角形三顶点的距离都等于4，求直线PC与平面ABC所成的角。例4. 如图: ABC的ABC= 90, V是平
4、面ABC外的一点, VA = VB = VC = AC, 求VB与平面ABC所成的角。 例5.设ABC内接于O，其中AB为O的直径，PA平面ABC。如图求直线PB和平面PAC所成角的大小.【巩固练习】1如下图，正四面体SABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是A B C D ( )2在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于( )A B C D3四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=2，EFAB，则EF与CD所成的角等于_4在正四棱锥PABCD中，若侧
5、面与底面所成二面角的大小为60，则异面直线PA与BC所成角的大小等于_（结果用反三角函数值表示）5在三棱锥ABCD中，AD=BC=2a，E、F分别是AB、CD的中点，EF=a，求AD与BC所成的角6如下图，已知空间四边形ABCD的对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，MN=7，求异面直线AC与BD所成的角7. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点.（I）求直线EF与MN的夹角；（II）求直线MF与平面ENF所成角的余弦值；参考答案【基础训练】（答：）（答：90）（答：2）（答：）（答：arcsin）（答
6、：）（答：）（答：）【典型例题】FEDCBA解：取BD的中点M，连ME、MF，E、F分别为AD、BC的中点，ME AB，MF CD，ME 与 MF所成的角为AB与CD所成的角（或补角），EMF=600或1200，AB=CD，ME = MF ，EF与EM所成的角为600或300，即EF与AB所成的角也为600或300 .解析：解：设点P在底面上的射影为O，连OB、OC，则OC是PC在平面ABC内的射影，PCO是PC与面ABC所成的角。 PA = PB = PC，点P在底面的射影是DABC的外心，注意到DABC为钝角三角形，点O在DABC的外部，AC = BC，O是DABC的外心，OCAB在DOB
7、C中，OC = OB， OCB = 60，DOBC为等边三角形，OC = 2 在RtDPOC中，PCO = 60 。解：如图过点P作PH平面ABC于H，过点H作HDAC于D，作HEBC于E，连PD、PE，PDAC，PEBC，PCA=PCB=600，PCDPCE，CD=CE，HCDHCE，PBCAEDHHD=HE，CH平分ACB，设PC=aPCH=450，即PC与平面所成角为450。解析：解：设点P在底面上的射影为O，连OB、OC，则OC是PC在平面ABC内的射影，PCO是PC与面ABC所成的角。 PA = PB = PC，点P在底面的射影是DABC的外心，注意到DABC为钝角三角形，点O在DA
8、BC的外部，AC = BC，O是DABC的外心，OCAB在DOBC中，OC = OB， OCB = 60，DOBC为等边三角形，OC = 2 在RtDPOC中，PCO = 60 。解析：1、要求VB与平面ABC所成的角, 应作出它们所成的角。2、要作出VB与平面ABC所成的角, 只要找出VB在平 面ABC内的射影就可以了。3、作斜线在平面内的射影, 只要在斜线上找一点作直线 垂直于平面, 即找此点在平面内的射影, 显然找V点, V点在平面内的射影在何处？由条件可知, 射影为ABC的外心。解: 作VO平面ABC于O, 则OB为VB在平面ABC内的射影,VBO为VB与平面ABC所成的角。连OA、O
9、B、OC, 则OA、OB、OC分别为斜线段VA、VB、VC在平面ABC内的射影。VA = VB = VCOA = OB = OCO为ABC为外心ABC为直角三角形, 且AC为斜边O为AC的中点设VA = a, 则VA = VC = AC = a, 在RtVOB中, VBO = 60VB与平面ABC所成的角为60。解：解析：取AC的中点E，连结DE、BE，则DESA，BDE就是BD与SA所成的角设SA=a，则BD=BE= a，DE= a，cosBDE= 答案：C解法一：取面CC1D1D的中心为H，连结FH、D1H在FHD1中，FD1=，FH=，D1H=由余弦定理，得D1FH的余弦值为解法二：取B
10、C的中点G连结GC1FD1，再取GC的中点H，连结HE、OH，则OEH为异面直线所成的角在OEH中，OE=，HE=，OH=由余弦定理，可得cosOEH=答案：B解析：取AD的中点G，连结EG、FG，易知EG=1，FG=由EFAB及GFAB知EFFG在RtEFG中，求得GEF=30，即为EF与CD所成的角答案：30答案：arctan2解：取AC的中点M，连结ME、MF，则MEBC，MFAD，所以EMF（或其补角）是直线AD与BC所成的角在EMF中，ME=BC=a，MF=AD=a，EF=a，cosEMF=，EMF=120，因此异面直线AD与BC所成的角为60解：取BC的中点E，连结EN、EM，ME
11、N是异面直线AC与BD所成的角或其补角在EMN中，EN=3，EM=5，MN=7，cosMEN=，MEN=120异面直线AC与BD所成的角是6022. （满分14分）解：设AB=i，AD=j，AA1=k，以i，j，k为坐标向量建立空间直角坐标系Axyz，则有E（，0，1，），F（1，0），M（，1，1），N（1，1）.（2分）（1）EF=（，-1），MN=（，-，0），EFMN=（，-1）（，-，0）=-+0=0.EFMN，即直线EF与MN的夹角为90.（6分）（2）由于FN=（0，0，1），MN=（，-，0），FNMN=0，FNMN.EFFN=F，MN平面ENF.又MN平面MNF，平面MNF平面ENF.（8分）（3）在平面NEF中，过点N作NGEF于点G，连结MG，由三垂线定理，得MGEF.MGN为二面角NEFM的平面角.（12分）在RtNEF中，NG=.在RtMNG中，tanMGN=.二面角MEFN的平面角的正切值为.（14分）
