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1、高三数学第一轮复习讲义 二面角【知识点归纳】1.二面角的平面角的三要素：顶点在棱上；角的两边分别在两个半平面内；角的两边与棱都垂直。2.作二面角的平面角的主要方法：定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；3.二面角的范围：；4.二面角的求法：转化为求平面角；面积射影法：利用面积射影公式，其中为平面角的大小。对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交
2、出现棱，然后再选用上述方法（尤其可考虑面积射影法）。利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.【基础训练】（1）正方形ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-A1C-A的大小为_ _；（2）将A为60的棱形ABCD沿对角线BD折叠，使A、C的距离等于BD，则二面角A-BD-C的余弦值是_ _； （3）正四棱柱ABCDA1B1C1D1中对角线BD18，BD1与侧面B1BCC所成的为30，则二面角C1BD1B1的大小为_ _；（4）从点P出发引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60，则二面角B-PA-C的余弦值是_ _；（5）二面角-的平面角为120，A、B，AC，BD，AC，BD，若
3、AB=AC=BD=1，则CD的长_ _；（6）ABCD为菱形，DAB60，PD面ABCD，且PDAD，则面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小为_ _。【例题选讲】：例1.空间三条射线CA、CP、CB，PCA=PCB=600，ACB=900，求二面角B-PC-A的大小。PBCAEFDDCBAH例2.如图：RtABC中，斜边AB在平面内，C,AC、BC与所成角分别为450和300，求平面ABC与所成角。例3.如图ABCD为菱形，DAB60，PD面ABCD，且PDAD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。 例4.正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长均为a，D为CC1的中点，过A、B1、D作截面
4、，求此截面与底面A1B1C1所成角。BACA1B1C1D例5.如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中对角线BD18，BD1与侧面B1BCC1所成的为30。 求BD1和底面ABCD所成的角； 求异面直线BD1和AD所成的角； 求二面角C1BD1B1的大小。 例6 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值【巩固练习】1.如图1122，山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是60，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是30，沿这条路上山，行走100米后升高多少米？2已知：如图1126，二
5、面角AB为30，P，P到平面的距离为10cm求P到AB的距离3在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点，求面B1D1E与面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值4.如图10，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A1FFA=12，求平面B1EF与底面A1C1所成的二面角大小的正切值5.已知：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a求：平面APB与平面CPD相交BACA1B1C1D所成较大的二面角的余弦值6如图，正方体AC1中，已知O为AC与BD的交点，M为DD1的中点。（1）求异面直线B1O与AM所成
6、角的大小。（2）求二面角B1MAC的正切值。（14分）7在正方体AC1中，E为BC中点（1）求证：BD1平面C1DE；（2）在棱CC1上求一点P，使平面A1B1P平面C1DE；（3）求二面角BC1DE的余弦值。（14分）参考答案【基础训练】（答：）（答：）（答：）（答：）（答：2）（答：）PBCAEFD解：过PC上的点D分别作DEAC于E，DFBC于F，连EF，EDF为二面角B-PC-A的平面角，设CD=a，PCA=PCB=600，CE=CF=2a，DE=DF=，又ACB=900，EF=，EDF=，解：过点C作CD于D，连AD、BD，DAC和CBD分别为AC、BC与所成角，即DAC=450，C
7、BD=300，过点D作DHAB于H，连CH，CHAB，即CHD为 平面ABC与所成角，设CD=a，AC=，BC=2a ，AB=，CH=，CHD=600，即为平面ABC与所成的角。（ABDC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PFAB，则PF为面PCD与面PAB的交线）这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后的“变”与“不变”如果在平面图形中过A作AEBD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA，OE与BD的垂直关系不变但OA与OE此时变成相交两线并确定一平面，此平面必与棱垂直由特征（2）可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角
8、另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上，所以E点就是A，这样的定位给下面的定量提供了可能在RtAAO中，AAO=90，解：已知CD=100米，设DH垂直于过BC的水平平面，垂足为H，线段DH的长度就是所求的高度在平面DBC内，过点D作DGBC，垂足是G，连结GHDH平面BCH，DGBC，GHBC因此，DGH就是坡面DGC和水平平面BCH所成的二面角的平面角，DGH60，由此得：43.3（米）答：沿直道前进100米，升高约43.3米注：在解题中要特别注意书写规范如：DGBC，GHBC，DGH是坡面DGC和水平面BCH所成二面角的平面角解：在内作点P的射影O，过点P作
9、PQAB于Q，连结OQ，根据三垂线定理，可得OQABPQO为二面角AB的平面角，即PQO3OPO10cm，PQ20cm即P到AB的距离为20cm分析：在给定的平面B1EF与底面A1C1所成的二面角中，没有出现二面角的棱，我们可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点，则这两个公共点的连线即为二面角的棱，最后借助这条棱作出二面角的平面角略解：如图10在面BB1CC1内，作EHB1C1于H，连结HA1，显然直线EF在底面A1C1的射影为HA1延长EF，HA1交于G，过G，B1的直线为所求二面角的棱在平面A1B1C1D1内，作HKGB1于K，连EK，则HKE为所求二面角的平面角在平面A1B1C1D1
10、内，作B1LGH于L，利用RtGLB1RtGKH，可求得KH又在RtEKH中，设EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线解：因为 ABCD，CD 平面CPD，AB 平面CPD所以 AB平面CPD又 P平面APB，且P平面CPD，因此 平面APB平面CPD=l，且Pl所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角因为 AB平面CPD，AB 平面APB，平面CPD平面APB=l，所以 ABl过P作PEAB，PECD因为 lABCD，因此 PEl，PFl，所以 EPF是二面角B-l-C的平面角因为 PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，因为 E，F分别是AB，CD的中点，所以 EF=BC=a在EFP中，19（1）方法二：取AD中点N，连结A1N，则A1N是B1O在侧面ADD1A1上的射影.易证AMA1NAMB1O（三垂线定理）（2）连结MB1，AB1，MC，过O作OHAM于H点，连结B1H，B1O平面MAC，B1HO就是所求二面角B1MAC的平面角.20证
