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1、 振动中能的转化和守恒【例题精选】： 例1：一弹簧振子做简谐振动，周期为T，以下说法正确的是：A若t时刻和时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则一定等于周期（T）的整数倍。B若t时刻和时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则一定等于半周期（）的整数倍。C若，则在t时刻和时刻振子运动的加速度一定相等。D若，则在t时刻和时刻弹簧的长度一定相等。答案：C分析：本题通过作简谐振动的弹簧振子，定性考查对简谐振动的位移、速度、加速度随时间变化规律的认识，要正确得出答案，需要理解这些规律。认识位移随时间变化的规律，最直观的方法是通过位移时间图象来认识，图5-1甲是一个在光滑竖直面上的弹簧振子，振子在x轴上
2、以O为平衡位置在B，C之间做简谐振动，振幅10厘米，周期1.2秒。取振子正好经过平衡位置沿x轴正方向运动时开始计时，做出振子的位移时间图像（如图5-1乙所示）。理论和实验表明，简谐振动的位移时间图像是一条正弦或余弦曲线。从图线可以看出，在一个周期的时间内，相邻两次x=A（或x=A）的间隔时间，相邻两次x=0的间隔时间除去以外，位移相同的两个时刻，间隔时间，例如在01.2秒内，0.1秒末与0.5移末位移相同、0.2秒末与0.4秒末位移相同、0.6秒末与1.1秒末位移相同，。结果表明，除去外，从振子在其它任意位置时开始计时，每经过一个周期的时间，振子都回到初始位置，位移相同（大小相等、方向相同），
3、但是位移相同的两个时刻经过的时间间隔不一定等于周期的整数倍。根据上面的分析可以确定选项A答案不正确。根据上面的分析还可以确定，在一个周期的时间内，弹簧长度相同的两个时刻，振子的位移一定相同，但除外，这两个时刻的时间间隔，因此选项D答案也不正确。加速度随时间变化的规律，可根据回复力随位移变化的规律和牛顿运动定律间接得出。做简谐振动的物体受回复力。，根据牛顿第二定律可得，当物体的位移为x时，加速度（1）式中K为回复力（F）与位移（X）大小的比例系数，m为振动物体的质量，“”表示加速度（a）与位移（x）方向相反。结果表明，做简谐振动的物体，加速度跟位移大小成正比，方向与位移方向相反，再根据位移随时间
4、变化的规律，就可以知道加速度随时间变化的规律。根据式（1）可知，物体在振动中只要位移相同，加速度一定相同，再根据位移随时间变化的规律可进一步得出结论，从某时刻t开始计时，每经过一个周期的时间振动物体的位移都与t时刻位移相同，因此两时刻的加速度一定相同，所以选项C答案正确。但是，通过对选项A的分析可知，加速度相同（位移一定相同）的两个时刻，经过的时间不一定等于周期的整数倍。速度随时间变化的规律比较复杂，下面分别讨论它的大小和方向。简谐振动的加速度不断变化，不遵守匀变速直线运动规律。速度大小的变化规律可根据位移随时间变化的规律和机械能守恒定律得出。简谐振动具有周期性重复的性质，每经过一个周期，物体
5、的位移、速度、加速度都与初始时刻相同，差异只表现在一个周期内，以图5-1所示弹簧振子为例，振子所受回复力的大小等于弹簧的弹力，振子的位移大小等于弹簧的形变大小（伸长或压缩的长度），振子在振动过程中，动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒。当振子正经过平衡位置O向B运动时，弹簧处于原长，弹性势能为零，振子动能最大，速率最大；振子从O向B运动的过程中，振子做减速运动，动能减小，弹簧的形变（压缩）逐渐变大，位移变大，势能变大；振子运动到B点时，速度为零，动能为零，弹簧形变（压缩）最大，振子运动到最大位移处时（x=A），势能最大；在振子从B向O运动的过程中，振子做加速运动，动能变大，速率变大，弹簧形变（
6、压缩）变小，位移变小，势能变小；振子再经过平衡位置向C运动时，弹簧又恢复原长，势能为零，振子动能最大，速率最大；在振子从O向C运动的过程中，振子又做减速运动，动能减小，弹簧形变（伸长）变大，位移变大，势能变大；振子运动到C点时，速度为零，动能为零，弹簧形变最大（伸长），x=A，势能最大；振子从C向O运动的过程中，振子做加速运动，动能变大，弹簧形变（伸长）变小，位移变小，势能变小，通过以上分析可以确定，振子在运动中，弹簧的形变（压缩或伸长）变大时，位移变大，势能变大，动能变小，速率变小；弹簧的形变变小时，位移变小，势能变小，动能变大，速率变大。振子在运动过程中，只要位移大小相等，无论弹簧是伸长还
7、是压缩，弹簧的形变大小相等，势能一定相等，则振子的动能相等，速率一定相等，在图5-1中，振子在0.1秒末、0.5秒末、0.7秒末、1.1秒末位移大小相等，速率相等。速度的方向只有两种可能：振子从运动时，速度的方向与x轴反方向；从运动时，速度的方向与x轴同方向。综合上述速度的大小和方向的变化规律可得：在一个周期的时间内，当时，速度等于零 ，则振子两次速度等于零的最短间隔时间，当时，速度大小相等、方向相反的两个时刻，间隔时间，在图5-1中，0秒与0.6秒末速度大小相等、方向相反，0.6秒末与1.2秒末速度大小相等、方向相反，间隔时间都是；若，则速度大小相等、方向相反的两个时刻，间隔时间，在图5-1
8、中，振子在0.1秒末、0.5秒末连续两次经过x=5厘米的E点，间隔时间0.4秒，0.5秒末与1.3秒末也是连续两次通过E点，间隔时间0.8秒，。通过分析可以得出结论：选项B答案错误，通过分析还可以得出结论：在一个周期的时间内，速度大小相等、方向相同的两个时刻，间隔时间也不等于。在图5-1中，振子在0.5秒末与0.7秒末速度大小相等、方向相同，间隔时间0.2秒，振子在0.1秒末与1.1秒末速度大小相等、方向相同，间隔时间1.0秒，。小结：简谐振动比匀变速直线运动复杂得多，在中学对它的运动规律的描述不使用函数式，多用语言描述，因此对运动规律的掌握比较困难。为了掌握好这部分知识，在形象上要充分利用简
9、谐振动的模型弹簧振子和单摆，想像它们运动的具体情境；在理论上充分利用振动图像、运动和力的关系、机械能守恒定律。这样在分析具体问题时易于理清思路，不至于无从下手。本题的分析是针对简谐振动的一般规律展开的，如果这些规律已经理解和掌握，实际在解答本题时，不必再对规律进行详细分析。针对四个选项中的“一定”，只要能够找一个反例，就可以排除错误答案，选出正确答案，这就是解选择题的“排除法”，即使如此，也一定要先画出如图5-1的示意图。例2：图5-2是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置。设摆球向右方向运动为正方向。图5-3是这个单摆的振动图象。根据图象请回答以下几个问题。（
10、1） 单摆的振幅多大？（2） 单摆振动的频率是多高？（3） 开始时刻摆球所在的位置？（4） 摆球速度首次具有负的最大值的时刻是多少？摆球位置在哪里？（5） 摆球加速度首次具有负的最大值的时刻是多少？摆球位置在哪里？（6） 若当地的重力加速度为9.8m/s2，试求这个摆的摆长是多少？分析：在简谐振动中，有一些描述振动的物理量可以通过振动图象直接看出，如：振幅、周期、与时间相对应的位移等。而有的物理量却要运用物理规律和有关振动的特征来加以判断。此题的（1）、（2）两问就属于前者，而（4）、（5）两问属于后者。解：（1）由图象可知，这个单摆的振幅是4cm。（2）由图象可知，摆球经0.8s可以完成一次
11、全振动，故振动周期T=0.8s。 简谐振动的频率与周期满足： 单摆振动的频率： 。（3）看图53，由t=0时摆球位置是负的最大值，故开始时刻摆球在B处。 （4）摆球位移为零的时刻摆球具有速度的最大值，其中位移由正变零的各时刻的速度方向与正方向相反，是“负最大”，故速度首次达负最大的时刻是0.6s，位置恰在O点。 （5）位移值最大的时刻，加速度值也最大。当位移为正向最大时，加速度的方向与正方向相反，是“负最大”。故加速度首次达到负最大值时刻t=0.4s，摆球位置在C点。 （6）根据单摆做简谐振动的周期公式：，经变换可得：。代入数值计算，该摆的摆长为：0.16m。小结：同学们在通过振动图象研究简谐
12、振动时，首先要把图象中表达的物理状态、物理过程、物理情境认识清楚。另外要运用自己的空间想象能力，把振动图象反映的情境落实到实际振动物体的运动上来。在这种情况下才能真正把握简谐振动。例3：如图54所示AB是一个半径为1m的光滑圆弧的一部分，并且在A点与水平地面相切。已知AB弧长为5cm，现将一质量为m的小球从B点静止释放，设小球下滑到圆弧底端A所用的时间为t；为使小球下滑时间增加为2t，可采用下述方法中的A、 将小球质量减小为原来的1/2B、 将圆弧长度增加为原来的2倍C、 将圆弧半径增加为原来的4倍D、 将小球从圆弧中点C由静止释放分析与解：表面上看小球沿光滑的弧面下滚属于机械能守恒的问题，但
13、对于在圆弧面上的运动来讲似乎又没有解决问题的方法。仔细分析“弧面”是圆弧面，弧面是光滑面，小球下滚的过程中只受重力和弧面的弹力，且弹力的方向圆弧面的圆心。这样就可以用理想化的单摆模型取代光滑弧面的模型，小球从B静止释放运动到A所经历的时间t相当于单摆振动的四分之一周期（T/4）。为了使小球下滑的时间增加为原来的二倍，即要使单摆振动的周期增加为原来的二倍。那么，可以采取的办法只有增加摆长，在这里就是增加圆弧半径。因为从单摆的周期公式能看出周期与摆长的关系满足T，显然这道题的正确选项应为：C。【专项训练】：选择正确答案 1、一物体在某行星表面受到的万有引力，是它在地球表面受到的万有引力的1/4。在
14、地球上走得很准的摆钟搬到此行星上后，此钟的分针走一整圈所经历的时间实际上是A? 小时B? 小时C? 2小时D? 4小时 2、如图55所示，把一个有槽的物体B与弹簧相连，使B在光滑水平面上做简谐振动，振幅为A1，当B恰好经过平衡位置时，把另一个物体C轻轻的放在（速度可认为是零）B的槽内，B，C共同做简谐振动的振幅为A2，比较A1和A2的大小，下面结论正确的是 A. B. C. D.条件不足，无法确定 3、图56甲是演示简谐振动图像的装置，当盛沙漏斗下面的簿木板N被匀速地拉出时，摆动的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系，板上的oo1代表时间轴。图乙是两个摆中的沙在各自木板
15、上形成的曲线，若板N1和板N2的速度v1和v2的关系为v2=2v1，则板N1，N2上曲线所代表的振动的周期T1和T2的关系为A. B.C.D. 4、一质点做简谐振动，其位移x与时间t的关系曲线如图57所示，由图可知A质点振动的频率是1赫。 B质点振动的振幅是2厘米。C在t=3秒时，质点的速度为最大。D在t=4秒时，质点所受的合外力为零。 5、水平放置的弹簧振子做简谐振动的周期为T，t1时刻振子不在平衡位置，且速度不为零；t2时刻振子的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同；t3时刻振子的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相反。若，则A时刻、时刻与时刻弹性势能都相等。B时刻与时刻弹簧的长度相等。C可能等于1.5T。D可能等于2.5T。6、如图58所示，一弹簧振子在光滑水平面上以O为平衡位置在A，B之间做简谐振动，C是AO的中点。当它通过C点时A它的速度为最大速度的一半。B它的加速度为最大加速度的一半。C它从A运动到C经历的时间是从A运动到O经 历时间的一半。D在C位置动能和势能相等。填空题7、某振动系统的固有频率为
