《高三数学新课：极限的四则运算函数的连续性（理）人教版（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学新课：极限的四则运算函数的连续性（理）人教版（通用）（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高三数学新课 极限的四则运算 函数的连续性 理 高三数学新课 极限的四则运算 函数的连续性 理 人教版人教版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 高三新课 极限的四则运算 函数的连续性 二 教学重 难点 1 函数在一点处连续 2 函数在开区间 闭区间上连续 3 连续函数的性质 1 若与在处连续 则 xfy xgy 0 xx xgxf xgxf 在处也连续 xg xf 0 xg 0 xx 2 最大 最小值 若是 上的连续函数 那么在上有最大值 xfba xf ba 和最小值 最值可在端点处取得 也可以在内取得 ba 典型例题典型例题 例 1 求下列极限 1 22 1 lim 4 3 xx x
2、x x 2 11 lim 22 xx x 3 6 23 lim 2 23 2 xx xxx x 4 1 1 lim 4 1 x x x 解 解 1 原式0 002 000 21 2 111 lim 43 43 xx xxx x 2 原式 11 11 11 lim 22 2222 xx xxxx x 0 11 2 lim 22 xx x 3 原式 3 1 lim 3 2 2 1 lim 22 x xx xx xxx xx 5 2 32 12 2 3 lim 1 lim 2 2 x xx x x 4 原式 2 1 1 lim 1lim 1 1 lim 1 1 1 lim 1 1 lim 4 1 1
3、 4 1 44 4 1 4 1 xxxx x x x x x xxx 例 2 求下列各数列的极限 1 11 3 2 3 2 lim nn nn n 2 1 1 3 1 1 2 1 1 lim 222 n n 3 2 lim 2 nnn n 解 解 1 原式 3 1 3 3 2 lim2 1 3 2 lim 3 3 2 2 1 3 2 lim n n n n n n n 2 原式 2 1 1 2 1 lim 11 3 4 3 2 2 3 2 1 lim n n n n n n nn 3 原式 nnn n nnn nnnnnn nn 2 2 lim 2 2 2 lim 22 22 1 11 2 1
4、 2 1 2 lim n n 例 3 已知数列是正数构成的数列 且满足 其中是 n a3 1 acaa nn lglglg 1 n 大于 1 的整数 是正数 c 1 求的通项公式及前项和 n an n S 2 求的值 1 1 2 2 lim n n n n n a a 解 解 1 由已知得 是公比为的等比数列 则 1 nn aca n a3 1 ac 1 3 n n ca 10 1 1 3 13 cc c c cn S n n 且 2 nn nn n n n n n n c c a a 32 32 lim 2 2 lim 11 1 1 当时 原式2 c 4 1 当时 原式2 c c c c c
5、 n n n 1 3 2 2 3 2 lim 1 1 当时 原式20 c 2 1 2 32 2 31 lim 1 1 n n nc c c 例 4 判定下列函数在给定点处是否连续 1 在处 1 2 1 1 x xx xfy1 x 2 在处 0 12 0 0 0 12 xx x xx xfy0 x 解 解 1 但1 lim lim lim 111 xfxfxf xxx lim 2 1 1 1 xff x 故函数在处不连续 xfy 1 x 2 函数在处有定义 但 xfy 0 x1 12 lim lim 00 xxf xx 即1 12 lim lim 00 xxf xx lim lim 00 xfx
6、f xx 故不存在 所以函数在点处不连续 lim 0 xf x xf0 x 例 5 已知函数 试求 n n x x x xf 1 lim 1 的定义域 并画出的图象 xf xf 2 求 lim 1 xf x lim 1 xf x lim 1 xf x 3 在哪些点处不连续 xf 解 解 1 当 即时 1 x11 x0 1 lim n n n x x 当时 不存在1 x n n n x x 1 lim 当时 1 x 2 1 1 lim n n n x x 当时 即或时 1 x1 x1 x1 1 1 1 lim 1 lim n n n n n x x x 11 1 1 2 1 11 0 xx x
7、x xf 或 定义域为 图象如图所示1 1 2 11lim lim 11 xx xf00lim lim 11 xx xf 不存在 lim 1 xf x 3 在及处不连续 在处无意义 xf1 x1 x xf1 x 时 1 x0 lim 1 lim 11 xfxf xx 即不存在 在及处不连续 lim 1 xf x xf1 x1 x 例 6 证明方程至少有一个小于 1 的正根 12 x x 证明 证明 令 则在 0 1 上连续 且当时 12 x xxf xf0 x 01 0 f 时 1 x01121 1 f 在 0 1 内至少有一个 使 0 x0 0 xf 即 至少有一个 满足且 所以方程至少有一
8、个小 0 x10 0 x0 0 xf12 x x 于 1 的正根 例 7 函数在区间 0 2 上是否连续 在区间 0 2 上呢 2 4 2 x x xf 解 解 且 2 2 4 2 x x x xfRx 2 x 任取 则20 0 x 2 lim lim 00 xxf xxxx 2 00 xfx 在 0 2 内连续 但在处无定义 xf xf2 x 在处不连续 从而在 0 2 上不连续 xf2 x xf 例 8 假设 在上不连续 求的取值范围 123 15 xax x xf a 解 解 若函数 在上连续 由函数在点处连续的 123 15 xax x xf 0 x 定义 必有 因为 1 lim li
9、m 11 fxfxf xx 55lim lim 11 xx xf 所以 所以 若不连续 则aaxxf xx 23 23 lim lim 11 a235 1 a xf 且 Ra 1 a 例 9 设 0 11 0 0 1 11 2 2 xx x b xa x x x xf 1 若在处的极限存在 求的值 xf0 xba 2 若在处连续 求的值 xf0 xba 解 解 1 因为11lim lim 2 00 xxf xx 2 11 lim lim 00 b x b xf xx 在处极限存在 所以 所以 即 xf0 x lim lim 00 xfxf xx 2 1 b Rab 2 2 因为在处连续 所以在
10、处的极限存在 且 xf0 x xf0 x 由 1 知 且 又 所以 0 lim 0 fxf x 2 b1 lim 0 xf x af 0 2 1 ba 模拟试题模拟试题 答题时间 60 分钟 一 选择题 1 已知 则下列结论正确的是 x x xf 3 2 A B 不存在 C 1 D 0 lim xf x limxf x limxf x limxf x 1 2 的值为 3ln 12lnln lim 2 3 x xx ex A 5 B 4 C 7 D 0 3 的值为 x x x 1 lim 2 A 1 B 0 C D 1 1 4 的值为 1 lim 2 nnn x A B C 1 D 2 1 2
11、1 2 3 5 若 则的取值范围是 1 1 1 lim n n b b b A B C D 1 2 1 b 2 1 2 1 b 2 1 b 2 1 0 b 6 若在上处处连续 则常数等于 0 02 xax x xf a A 0 B 1 C 2 D 2 7 在点处连续是在点处连续的 xf 0 xx xf 0 xx A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 8 的不连续点是 9 3 2 x x xf A 无不连续点 B C D 3 x3 x3 x 二 解答题 1 求下列极限 1 2 3 13 124 lim n n n n n nn nn n aa aa
12、lim 1 1 lim nn nn n 2 为常数 1 求 ba 12 lim 2 bnnna n ba 3 已知 01 0 12 12 1 1 x x xf x x 1 在处是否连续 说明理由 xf0 x 2 讨论在和上的连续性 xf 0 1 1 0 试题答案试题答案 一 1 B 2 C 3 C 4 B 5 C 6 C 7 A 8 D 二 1 解 1 0 3 1 1 3 1 3 2 4 lim 13 124 lim n n n n n n n n n n n 2 n n nn nn a a aa aa 2 2 1 1 1 1 当时 10 a1 1 a 1lim nn nn n aa aa 当
13、时 1 a1 1 0 a 1lim nn nn n aa aa 当时 1 a0lim nn nn n aa aa 3 1 1 1 1 1 11 lim 1 1 lim 1 1 lim n n nn nn nn nn nnn 2 解 bnnna ananba bnnna nn 12 2 lim 12 lim 2 22222 2 1 12 2 2 lim 2 2 222 b nn a n a anba n 1 2 02 2 22 ba a ba 22 a4 b 3 解 1 则 0 x x 1 1 12 12 lim lim 1 1 1 0 x x x x xf 且 0 x x 1 1 12 12 lim lim 1 1 1 0 x x x x xf lim lim 00 xfxf xx 不存在 在处不连续 lim 0 xf x xf0 x 2 在上是不连续函数1 lim 0 xf x 1 0 f xf 0 1 在上是连续函数 0 1 lim 0 fxf x xf 1 0
