《高三数学教学案第4讲直线与平面垂直和平面与平面垂直（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学教学案第4讲直线与平面垂直和平面与平面垂直（通用）（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、题目 第九章(B)直线、平面、简单几何体直线与平面垂直和平面与平面垂直高考要求 1理解直线和平面垂直的概念 掌握直线和平面垂直的判定定理；2掌握三垂线定理及其逆定理3掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理 4通过例题的讲解给学生总结归纳证明线面垂直的常见方法：（1）证直线与平面内的两条相交直线都垂直；（2）证与该线平行的直线与已知平面垂直；（3）借用面面垂直的性质定理；（4）同一法；向量法知识点归纳 1线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直
2、，记作：a2直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面3直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行4三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式： 5三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直推理模式： 注意：三垂线指PA，PO，AO都垂直内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理要考虑a的位置，并注
3、意两定理交替使用6两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面7两平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直推理模式：，8两平面垂直的性质定理： 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 推理模式： 9向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法： 证明直线与平面垂直的方法：直线的方向向量与平面的法向量平行； 证明平面与平面垂直的方法：两平面的法向量垂直题型讲解 例1 已知直线a平面，直线b平面，O、A为垂足求证：ab 证明：以O为原点直线a为z轴，建立空间直角坐标系
4、，为坐标向量，直线a、b的向量分别为设=（x，y，z），b，=（0，0，z）=z，ab点评：因证明两直线平行，也就是证明其方向向量共线，所以，利用两向量共线的充要条件证明两直线平行是新教材基本的数学方法，应做到熟练运用例2 已知PAO所在的平面，AB是O的直径，C是O上任意一点，过A点作AEPC于点E，求证：AE平面PBC 证明：PA平面ABC，PABC又AB是O的直径，BCAC而PCAC=C，BC平面PAC又AE在平面PAC内，BCAEPCAE，且PCBC=C，AE平面PBC点评：证明直线与平面垂直的常用方法有：利用线面垂直的定义；利用线面垂直的判定定理；利用“若直线a直线b，直线a平面，则
5、直线b平面”例3 在直三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1=A1C1，A1BAC1，求证：A1BB1C 证明：取A1B1的中点D1，连结C1D1B1C1=A1C1，C1D1ABB1A1连结AD1，则AD1是AC1在平面ABB1A1内的射影，A1BAC1，A1BAD1取AB的中点D，连结CD、B1D，则B1DAD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1内的射影B1DA1B，A1BB1C点评：证明异面直线垂直的常用方法有：证明其中一直线垂直于另外一直线所在的平面；利用三垂线定理及其逆定理例4 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CD的中点（1）求证：ADD1F；（2）求AE与D
6、1F所成的角；（3）证明平面AED平面A1FD1分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为0”的问题，当然也可用其它的证法证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，则A(0,0,0), D(0,2,0), A1(0,0,2) D1(0,2,2)，E(2,0,1), F(1,2,0)(1) =01+21+0(-2)=0, ADD1F（2）=（2，0，1） =（1，0，-2），| ，|设AE与D1F的夹角为，则cos=所以，直线AE与D1F所成的角为90（3）由（1）知D1FAD，由（2）知D
7、1FAE，又ADAE=A，D1F平面AED，D1F平面A1FD1M平面AED平面A1FD1例5 如图，已知是圆的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任一点，求证：平面平面分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直，只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可解：是圆的直径，又垂直于所在的平面，平面，又在平面中，所以，平面平面点评：由于平面与平面相交于，所以如果平面平面，则在平面中，垂直于的直线一定垂直于平面，这是寻找两个平面的垂线的常用方法小结:1有关异面直线垂直的问题，除了用定义法外，还常常借助三垂线定理，转化为同一平面内的直线的垂直问题来处理或在两直线上分别取它们的
8、方向向量，然后证它们的数量积为02证明直线和平面垂直我们可以用定义法，即证明直线与平面内的任一条直线垂直，但常用的还是线面垂直的判定定理，证明直线垂直于平面内的两条相交直线，当然再证这直线（这平面）与已知直线（或平面）重合，有时侯将线面垂直问题转化为证面面垂直问题，也许会给你带来意想不到的收获3面面垂直的问题一般转化为线面垂直的问题来解决，如证面面垂直可转化为证明一个平面经过另一个平面的垂线用向量法证明垂直，就是证有关向量的数量积为0学生练习 1“直线l垂直于平面内的无数条直线”是“l”的A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分又不必要条件答案：B2给出下列命题，其中正确的两个命题是直线上有两
9、点到平面的距离相等，则此直线与平面平行 夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面 直线m平面，直线nm，则n a、b是异面直线，则存在唯一的平面，使它与a、b都平行且与a、b距离相等A B C D解析：错误如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交正确如下图，平面，A，C，D，B且E、F分别为AB、CD的中点，过C作CGAB交平面于G，连结BG、GD设H是CG的中点，则EHBG，HFGDEH平面，HF平面平面EHF平面平面EF，EF错误直线n可能在平面内正确如右上图，设AB是异面直线a、b的公垂线段，E为AB的中点，过E作aa，bb，则a、b确定的平面即为与a、b都平行且与a
10、、b距离相等的平面，并且它是唯一确定的 答案：D3在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体SEFG中必有ASG平面EFG BSD平面EFGCFG平面SEFDGD平面SEF解析：注意折叠过程中，始终有SG1G1E，SG3G3F，即SGGE，SGGF，所以SG平面EFG选A答案：A4PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任一点，则下列关系不正确的是APABC BBC平面PACCACPBDPCBC解析：由三垂线定理知ACPB，故选C答案
11、：C5ABC的三个顶点A、B、C到平面的距离分别为2 cm、3 cm、4 cm，且它们在的同侧，则ABC的重心到平面的距离为_解析：如下图，设A、B、C在平面上的射影分别为A、B、C，ABC的重心为G，连结CG交AB于中点E，又设E、G在平面上的射影分别为E、G，则EAB，GCE，EE=（AA+BB）=，CC=4，CGGE=21，在直角梯形EECC中可求得GG=3 答案：3 cm6在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件_时，有A1CB1D1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）答案：A1C1B1D1或四边形A1B1C1D1为菱形等7设正方体AB
12、CDA1B1C1D1的棱长为1，则（1）A点到CD1的距离为_；（2）A点到BD1的距离为_；（3）A点到面BDD1B1的距离为_；（4）A点到面A1BD的距离为_；（5）AA1与面BB1D1D的距离为_答案：（1） （2） （3） （4） （5）8RtABC在平面内的射影是A1B1C1，设直角边AB，则A1B1C1的形状是_三角形解析：根据两平行平面的性质及平行角定理，知A1B1C的形状仍是Rt 答案：直角4在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O，求证：A1O平面MBD证明：连结MO DBA1A，DBAC，A1AAC=A，DB平面A1ACC1又A1O平面A1A
13、CC1，A1ODB在矩形A1ACC1中，tanAA1O=，tanMOC=，AA1O=MOC，则A1OA+MOC=90A1OOMOMDB=O，A1O平面MBD9在三棱锥SABC中，N是S在底面ABC上的射影，且N在ABC的AB边的高CD上，点MSC，截面MAB和底面ABC所成的二面角MABC等于NSC，求证：SC截面MAB证明：CD是SC在底面ABC上的射影，ABCD，ABSC连结MDMDC=NSC，DMSCABDM=D，SC截面MAB10如下图，在ABC中，ACB=90，AB=8，BAC=60，PC平面ABC，PC=4，M为AB边上的一个动点，求PM的最小值解：P是定点，要使PM的值最小，只需
14、使PMAB即可要使PMAB，由于PC平面ABC，只需使CMAB即可 BAC=60，AB=8，AC=ABcos60=4CM=ACsin60=4=2PM=211在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又侧棱PA底面ABCD（1）当a为何值时，BD平面PAC?试证明你的结论（2）当a=4时，求证：BC边上存在一点M，使得PMDM（3）若在BC边上至少存在一点M，使PMDM，求a的取值范围分析：本题第（1）问是寻求BD平面PAC的条件，即BD垂直平面PAC内两相交直线，易知BDPA，问题归结为a为何值时，BDAC，从而知ABCD为正方形（1）解：当a=2时，ABCD为正方形，则BDAC又PA底面ABCD，BD平面ABCD，BDPABD平面PAC故当a=2时，BD平面PAC（2）证明：
