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1、高三数学导数运算高三数学导数运算人教版人教版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 导数运算 1 幂函数的导数公式 n xy 1 nn nxx Nn 证明 nn n n n n n nn xCxxCxxCxxxy 22211 12211 nn n n n n n xCxxCxC x y 1 0 lim n x n nx x y x 2 常数函数的导数公式 0 C 证明 由0 CCxfxxfy 则 故0 x y 0lim 0 x y y x 3 导数的运算法则 如果 有导数 则有 xf xg x f x g xgxfxgxf xfCxfC 即两个函数的和或差的导数 等于这两函数的导数的和或
2、差 常数与函数的积的导数 等于常数乘以函数的导数 典型例题典型例题 例 1 求下列函数的导数 1 1040233 34 xxxy 2 3 12 23 xxxy 解 解 1 40691240 3 23 4 3 2323 xxxxy 2 xxxxxxxy 24523 326 3 12 y 168301 2 3 4 2 5 6 3434 xxxxxx 例 2 已知 设 证明 0 a Nn n axy 1 n axny 证法一 证法一 由 则 nn xaax nn n kknk n n n n n xCxaCxaCaCy 110 112211 2 nn n kknk n n n n n xnCxakC
3、xaCaCy xanCanC n n n n 1 1 1 1 10 利用公式 11 1 1 1 1 1 1 nn n kknk n xnCxanC 1 1 k n k n nCkC 11 nn axnxan 证法二 证法二 x axxax y nn x lim 0 x axxCxaxCxaxCax nnn n n n n n n x lim 22211 0 lim 12211 0 nn n n n n n x xCxaxCaxC 1 n axn 注 注 证法 1 利用导数公式及运算法则 证法 2 则利用导数定义 例 3 已知函数且函数的图象关于原点对称 其图象在dcxbxaxxf 23 xf
4、处的切线为 试求解析式 3 x0188 yx xf 解 解 由关于原点对称则 xf xfxf 即dcxbxaxdxcxbxa 2323 022 2 dbx 上式对任意都成立 则Rx 0 db 又的图象在处的切线方程为即 xf3 x0188 yx 3 86 xy 由 则cxaxxf 3 cbxaxxf 23 2 故 即 得 8 3 6 3 f f 827 6327 ca ca 1 3 1 c a 故所求解析式为xxxf 3 3 1 例 4 已知抛物线与直线交于点 M N P 为抛物线上弧上任意一 2 xy 43 yx MN 点 求使面积最大时的点 P 的坐标 PMN 解 解 设 P 是抛物线上弧
5、上一点 由 则抛物线在 0 x 0 y 2 xy MNxy2 点 P 的切线斜率为 xk2 当过 P 的切线平行于 MN 时 P 到 MN 的距离为最大 而直线 MN 的斜率为3 k 故 32 0 x 2 3 0 x 于是点 P 的坐标为 2 3 4 9 例 5 设 曲线在点 P 处切线的0 acbxaxxf 2 xfy 0 x 0 xf 倾斜角的取值范围是 则 P 到曲线对称轴距离的取值范围是 4 0 xfy A B C D 1 0 a 2 1 0 a 2 0 a b 2 1 0 a b 解 解 由已知 即baxxf 2 1 0 0 xf120 0 bax 则点 P 到曲线对称轴距离为 0
6、x 0 xf xfy 选 B 2 1 0 2 2 2 0 0 aa bax a b x 模拟试题模拟试题 1 若直线是曲线的切线 求常数的值 xy axxxy 23 3a 2 若两曲线与都过 P 1 2 点 且在这点有公切线 求axxy 3 cbxxy 2 的值 abc 3 证明 在两抛物线 的交点处它们的切线互相垂直 2 xy 2 1 xy 试题答案试题答案 1 解 设切点坐标 0 x 0 y 则或1 163 3 0 2 0 00 0 2 0 3 00 a axx xy axxxy 4 13 a 2 解 由axyaxxy 23 3 由bxycbxxy 2 2 1 2 1 1213 12 12 2 2 3 c b a ba cb a 3 解 由 2 1 1 2 2 x xy xy 由ykxyxy 1 2 21 2 1 x 由2212 1 22 xyxxyxy12 2 1 2 2 12 x yk 由 得证 1 21 kk
