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1、高三数学反函数、方程根的分布人教版（理）【本讲教育信息】一. 教学内容：反函数、方程根的分布二. 本周教学重、难点：1. 了解反函数的概念及互为反函数图象的关系，会求一些简单的反函数。2. 掌握解决有关方程根的分布的基本方法。【典型例题】例1 记函数的反函数为，则等于（ ）A. 2 B. C. 3 D. 解：设，则，即例2 设的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数，求。解： 的图象关于点（1，2）对称 两边用作用 例3 已知是R上的增函数，点A（）、B（1，3）在它的图象上，是它的反函数，求不等式的解集。解：由题意知在R上是增函数，且又由，得，即 例4 已知函数，是的反函数，记。（1）求函数
2、的反函数；（2）求的最小值。解：（1） 又 故 由，得，解得故（2）当且仅当即时，取得最小值例5 方程两根在（2，3）内，求的取值范围。解：设 例6 方程的两个根为，且，求的取值范围。解： 例7 关于的方程至少有一个负的实根的充要条件是 。解：方法一（1）时，成立（2）时， 设 2个负根 1正根1负根 1负根1零根，不可能 由（1）（2）知： 方法二：（1）时，成立（2）时，设 方程有2个正根的条件 1正根1零根，不可能 方程无实根的条件 方程至少有一个负根的充要条件是例8 若二次函数在内至少存在一点，使，求的取值范围。解：设在内不存在这样的点 或 要使在内至少存在一点使，则例9 已知抛物线上
3、有一点M（）位于轴下方。（1）求证：抛物线与轴必有2个交点，A（）B（）（设）且（2）若M，求整数。证：（1） 抛物线与轴必有2个交点又 （2） 或 或【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题：1. 的反函数是（ ）A. B. C. D. 2. 设函数的图象关于点（1，）对称，且存在反函数，若，则等于（ ） A. B. 1 C. D. 23. 函数的反函数的解析式为（ ）A. B. C. D. 4. 已知函数存在反函数且，则函数的图象必经过点（ ）A.（2，0） B.（0，2） C.（3，） D.（）5. 设函数则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 设是函数的反函数，则使成立的的
4、取值范围为（ ）A. B. C. D. 7. 已知和是定义在上的函数，对任意的，存在常数，使得，且，则在A上的最大值是（ ） A. B. C. 5 D. 8. 如果函数的反函数是它本身，那么点（）的轨迹是（ ）A. 定点（1，0）B. 定点（）C. 直线D. 直线和定点（1，0）二. 解答题：1. 已知函数（，且）（1）求函数的反函数；（2）判定的奇偶性；（3）解不等式2. 若方程的两根，一个比2大，一个比2小，求的取值范围。3. 关于的实系数二次方程的两个实根为，证明：若且，那么。试题答案一.1. B 解析：，即（）2. A 解析：由题意分析知点（3，0）关于点（1，）的对称点（）也在上，结
5、合反函数的意义分析知，故选A。3. A解析：由 ，即 交换得4. D解析：由题意，则令，则有，故点必在的图象上5. D解析：由题意知时，设，则 即解之，得或（舍）6. A解析：方法一：求得由，得 ，解得方法二： 为增函数根据函数与反函数的定义域、值域之间的关系，即在中，在的条件下求的范围。 7. C解析：由题设知和在上的同一点处取得最小值，且 ，即从而又 8. D解析：由互为反函数的图象关于对称，知的图象与重合成垂直故或二.1. 解：（1）化简，得，设，则 所求反函数为（2） 是奇函数（3）当时，原不等式 当时， 解得 综上，当时，所求不等式的解集为（）；当时，所求不等式的解集为（）2. 解： 3. 证明：，
