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1、高三数学函数的最值及其在实际中的应用【本讲主要内容】函数的最值及其在实际中的应用函数的最值及其求法，实际问题中的最值【知识掌握】【知识点精析】1. 函数的最值：设的定义域是D，值域为V。若对于，使得且。使得，则称M是的最大值。若对于，使得且，使得，则称N是的最小值。2. 一些初等函数的最值，且，且，除去二次函数及正余弦函数存在最值，其它均无最值。3. 最值定理：在闭区间上的连续函数在上必有最大值与最小值。注意：极值与最值的概念是不同的，前者是函数的区间性质，后者是函数的整体性质，一个函数有极值不一定有最值，反之亦然。4. 常用的解题方法（1）直接利用不等式逐步推证（借助函数有界）例如： 且当时
2、取得1 ，（2）使用均值不等式求最值例如：设，求函数的最小值。解： 令或（舍） 当时，（3）利用函数的单调性例如：求，的最值。解： 是函数的单增区间 ，即，（4）利用函数的图象例如：求，的最值。解：如图所示，函数图象是双曲线、对称中心在上，函数为增函数，即在上，函数为增函数，即 ，（5）利用换元法将之化为关于新变元的初等函数例如：求函数的值域。解：可证，则函数（6）利用导数对于高次函数一般要用导数来求最值。例如：求在上的最值。解：， 令或1+00+11 ，（7）将函数作成方程视为常数，寻找使方程有解的条件，如“”判别式法【解题方法指导】例1 求函数的最值。方法一，当时， 当时，令则或由，由，综
3、合上述可得，即且当时取到，且当时取到方法二，（1）当时（2）当时， ，即 以下略方法三，由令，则有下表1（1，）+00+极大极小而， ，例2 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元。（1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最小？（2）若提供面粉的公司规定，当一次购买面粉不少于210吨时其价格可享受9折优惠（即原价的90%）问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由。解：（1）设该厂每隔天购一次面粉，购买量为吨，保管等其它费用为，设平均每天所支付的总费用为元，则且当时取得 每隔1
4、0天购买一次面粉，才能使每天所支付的总费用最少。（2）若厂家利用此优惠条件，则至少每隔天购买一次面粉。设该厂利用此优惠条件后，每隔天天购买一次，平均每天支付总费用为元，则 ，函数在 该厂应该接受此优惠条件【考点突破】【考点指要】函数的最值作为函数的重要性质，历来是高考重点考查的内容，又它的综合性，与其它知识诸如不等式、方程、三角函数等多元联系，更是作为考查学生综合运用知识的能力的载体，分值不小，可出现在任何一种题型中，以二次函数，分式函数，指、对数函数为模型的应用问题也是近几年在选择、填空中多出现的问题。【综合测试】一. 选择题1. 设，是常数，则当时，函数的最小值是（ ）A. B. C. D
5、. 2. 当点在直线上移动时，表达式的最小值是（ ）A. B. C. 6D. 73. （03 北京）函数的最大值是（ ）A. B. C. D. 4. （04 江苏）函数在闭区间上的最大值与最小值分别是（ ）A. B. C. D. 5. （05 重庆）若动点在曲线上变化，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 6. 函数的最小值是（ ）A. 190B. 171C. 90D. 45二. 填空题7. （04 北京）在函数，若成且，则有最 值，该值是 。8. （06 浙江）对，记，函数的最小值是 。9. （04 全国）函数的最大值是 。10. （06 上海）三个同学对问题“关于的不等式在上恒成立，求
6、的取值范围”提出各自的解题思路。甲论：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙论：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值。”丙论：“把不等式两边变成关于的函数，作出函数图象”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 。三. 解答题11. （02 上海）已知函数，（1）当时，求函数的最大值与最小值。（2）求实数的取值范围，使在上是单调函数。12. （03 北京）有三个新兴城镇，分别位于A、B、C三点处且AB=AC=，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处（建立坐标系如图）（1）若希望点P到三镇距离的平方和为
7、最小，点P位于何处？（2）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？综合测试答案一.1. A 提示：运用均值不等式2. D提示：由，所求为且当时取得3. D 提示：可考虑分母的最小值4. C提示：令，当时，当时， ，故选C5. A提示：利用三角换元法，即令，则 讨论和，可得6. C提示：，当时，取“=”号， 选C二.7. 大； 提示： 即8. 提示：数形结合9. 提示：构造二次函数，注意10. 提示：原式不等式，当时恒成立令 ，当且仅当时，“=”号成立，当且仅当时，“=”成立 当时，三.11. 提示：（1）当时， 时， 时，（2） 对称轴由题意，或12. 提示：（1）设P，P到三镇距离平方和为 当时，取得最小值（2）P至三镇最远的距离为由解得 记于是当即时在是增函数，而在（）上是减函数，由此可知，当时，函数取得最小值当即时，函数在，当取得最小值而在上减函数，且，可见当时，P（）当时，P（0，0）其中
