《高三数学 第9讲 函数与方程专题辅导（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学 第9讲 函数与方程专题辅导（通用）（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第9讲函数与方程1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根2二次函数yax2bxc(a0)零点的分布根的分布(mnp为常数)图象满足条件x1x2mmx1x2x1mx2f(m)0mx1x2nmx1nx2p只有一根在
2、(m，n)之间或f(m)f(n) 03函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点A级1(2020新课标全国卷)在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A.B. C. D.1选C因为fe43e20，所以f(x)ex4x3的零点所在的区间为.2函数y|x
3、|m有两个零点，则m的取值范围是()A1，)B0,1 C(0,1) D1,0)2选C在同一直角坐标系内，画出y1|x|和y2m的图像，如图所示，由于函数有两个零点，故0m0，f(3)0，f(5)0，所以在区间2,3，3,4，4,5内有零点4已知a是函数f(x)2xlogx的零点，若0x00Cf(x0)0 Df(x0)的符号不确定4选C函数f(x)2xlog2x在(0，)上是单调递增的，所以f(x0)0，所以y2x没有零点，同样y2x也没有零点；f(x)xx1，当x0时，f(x)2，当x0时，f(x)2，故f(x)没有零点；令f(x)xx10得x1，故选D.6(2020北京朝阳统考)函数f(x)
4、2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3) B(1,2) C(0,3) D(0,2)6选C由条件可知f(1)f(2)0，即(22a)(41a)0，即a(a3)0，解之得0a3.7用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算f(0)0可得其中一个零点x0_，第二次应计算_7解析：因为f(x)x33x1是R上的连续函数，且f(0)0，则f(x)在x(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号答案：(0,0.5)f(0.25)8若函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_8解析：函数f(x)的零点个数就是函数y
5、ax与函数yxa的图像交点的个数，易知当a1时，两图像有两个交点；当0a1时，两图像有一个交点答案：(1，)9(2020南通质检)已知函数f(x)x2(1k)xk的一个零点在(2,3)内，则实数k的取值范围是_9解析：因为(1k)24k(1k)20对一切kR恒成立，又k1时，f(x)的零点x1(2,3)，故要使函数f(x)x2(1k)xk的一个零点在(2,3)内，则必有f(2)f(3)0，即2k3.答案：(2,3)10已知函数f(x)x3x2.证明：存在x0，使f(x0)x0.10证明：令g(x)f(x)x.g(0)，gf，g(0)g0.又函数g(x)在上连续，存在x0，使g(x0)0，即f(
6、x0)x0.11若方程x24x3m0在x(0,3)时有唯一实根，求实数m的取值范围11解：原方程可化为(x2)21m(0x3)，设y1(x2)21(0x2.(2)由已知条件解得2a.(3)由已知条件f(2)2.(4)由已知条件f(1)f(3)0解得a3.检验：当f(3)0，a时，方程的两解为x，x3，当f(1)0，即a3时，方程的两解为x1，x5，可知a3.当a2.即a2时f(x)x24x4(x2)2方程的解x1x22a2，综上有a2或a1时，ln x0，sgn(ln x)1，f(x)sgn(ln x)ln2x1ln2x，令1ln2x0，得xe或x，结合x1，得xe；当x1时，ln x0，sg
7、n(ln x)0，f(x)ln2x，令ln2x0，得x1，符合；当0x1时，ln x0，sgn(ln x)1，f(x)1ln2x.令1ln2x0，得ln2x1，此时无解因此，函数f(x)sgn(ln x)ln2x的零点个数为2.2已知f(x)关于x的方程f 2(x)af(x)0.(1)若a1，则方程有_个实数根；2解析：由方程f2(x)af(x)0可得f(x)0或f(x)a，结合f(x)的图像可知，a1时，方程有3个实数根若方程恰有3个不同的实数解，则0bc，且f(1)0，试证明f(x)必有两个零点；(2)若对x1，x2R，且x1bc，a0，c0，即ac0，方程ax2bxc0有两个不等实根，函数f(x)有两个零点(2)令g(x)f(x)f(x1)f(x2)，则g(x1)f(x1)f(x1)f(x2)，g(x2)f(x2)f(x1)f(x2)，g(x1)g(x2)f(x1)f(x2)2.f(x1)f(x2)，g(x1)g(x2)0.g(x)0在(x1，x2)内必有一实根即f(x)f(x1)f(x2)在(x1，x2)内必有一实根
