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1、福建省四校2020届高三数学第一次联合考试试题 理第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）若集合，则（ ）（A） （B） （C） （D）（2）设i为虚数单位，为纯虚数，则实数a的值为（ ）（A）-1 (B)1 (C) -2 (D)2（3）设是等差数列的前n项和，则（ ）（A）2 （B）3 （C）5 （D）7（4）某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即，试卷满分分，统计结果显示数学考试成绩不及格（低于90分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为（ ）（A
2、）400 （B）500 （C）600 （D）800（5）设点是双曲线的右焦点，点到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为，则双曲线的渐近线方程为( )（A） （B） （C） （D）（6）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）（A）（B）（C） （D）（7）函数的大致图象如图，则函数的图象可能是()（8）已知满足，若目标函数的最大值为13，则实数的值为（ ） （A） （B） （C） （D） （9）执行如图所示的程序框图，若输出的值为-5，则判断框中可以填入的条件为（ ）（A） （B） （C） （D）（10）已知椭圆的上下左右顶点分别为，且左右焦点为，且以 为直径的圆内切于菱形，
3、则椭圆的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）（11）四棱锥的底面为正方形，底面，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则（ ）（A）3（B）（C）（D）（12）已知函数的一条对称轴为，且,则的最小值为（ ）（A） （B） （C） （D）第II卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。（13）已知在边长为2的等边中，D是BC中点，则 .（14）在的二项展开式中，的项的系数是 .（用数字作答）（15）设是等比数列的前n项和，且对任意正整数n恒成立，则m的取值范围是 .（16）已知函数，则不等式的解集为_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）在A
4、BC中，角的对边分别为，且成等比数列，.（）求的值；（）若，求的值.（18）（本小题满分12分）如图，几何体EFABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，ABCD，ADDC，AD=2，AB=4，ADF=90（）求证：ACFB（）求二面角EFBC的大小（19）（本小题满分12分）某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱。现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：售出水量x（单位：箱）76656收益y（单位：元）165142148125150() 若x与y成线性相关，则某天售出8箱水时，
5、预计收益为多少元？() 期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201500 名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金。甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X 的分布列及数学期望。附：，。（20）（本小题满分12分）已知点，其中是曲线上的两点，两点在轴上的射影分别为点，且. （I）当
6、点的坐标为时，求直线的斜率；（II）记的面积为，梯形的面积为，求证：.（21）（本小题满分12分）已知函数（）当时，求的极值；（）当时，讨论的单调性；（）若对于任意的都有，求实数的取值范围请考生在第（22）（23）（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B，C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点（I）证明：A，P，O，M四点共圆；（II）求OAMAPM的大小（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，曲线.直线经过点，且倾斜
7、角为.以为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（I）写出曲线的极坐标方程与直线的参数方程；（II）若直线与曲线相交于两点，且，求实数的值.（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（I）当时，求不等式的解集；（II）若不等式对任意实数恒成立，求的取值范围.永春一中 培元中学季延中学 石光中学 2020届高三年毕业班第一次联合考试答案（理科数学）一、选择题：（共12小题，每小题5分）（1）D （2）A （3）C （4）A （5）B （6）C（7）D （8）A （9）D （10）D （11）B （12）C二、填空题（共4小题，每小题5分）（13）-1 （14）70 （15） （
8、16）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）解：（）因为成等比数列，所以1分 由正弦定理可得 2分 所以 3分 5分 6分（）由得知7分 由得8分 所以9分 由余弦定理得得10分 即11分 解得12分（18）（本小题满分12分）（）证明：由题意得，ADDC，ADDF，且DCDF=D，AD平面CDEF，ADFC，2分四边形CDEF为正方形DCFC由DCAD=D FC平面ABCD，FCAC4分又四边形ABCD为直角梯形，ABCD，ADDC，AD=2，AB=4，则有AC2+BC2=AB2ACBC由BCFC=C，AC平面FCB，ACFB6分（）解：由（I）知A
9、D，DC，DE所在直线相互垂直，故以D为原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz7分可得D（0，0，0），F（0，2，2），B（2，4，0），E（0，0，2），C（0，2，0），A（2，0，0），由（）知平面FCB的法向量为，8分设平面EFB的法向量为则有即令则10分设二面角EFBC的大小为，有图易知为锐角所以二面角EFBC的大小为12分（19）（本小题满分12分）解：（I），1分，3分当时，即某天售出8箱水的预计收益是186元。4分 () 设事件A为“学生甲获得奖学金”，事件B为“学生甲获得一等奖学金”，则 即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的
10、概率为6分X的取值可能为0，300，500，600，800，10007分，即的分布列为： 10分 （元）12分（20）（本小题满分12分）解：（）因为，所以代入，得到 1分又，所以，所以 2分代入，得到 3分所以 4分（）法一：设直线的方程为.则6分由, 得,所以8分所以,10分又，所以，所以，因为，所以,所以.12分法二：设直线的方程为.由, 得,所以6分,点到直线的距离为, 所以 8分所以 10分又，所以因为，所以所以12分（21）（本小题满分12分）解：（）当时，定义域为，的导函数当时，在上是减函数；当时，在上是增函数当时，取得极小值为，无极大值3分（）当时，的定义域为，的导函数为5分由
11、得，6分（1）当时，在和上是减函数，在上是增函数；（2）当时，在上是减函数；（3）当时，在和上是减函数，在上是增函数8分（）由（）知，当时，在上是减函数10分对于任意的都有，对任意恒成立，对任意恒成立11分当时，实数的取值范围为12分（22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲解：(I)如图所示，连接OP，OM.因为AP与O相切于点P，所以OPAP.因为M是O的弦BC的中点，所以OMBC.于是OPAOMA180.由于圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆(II)由(I)得A，P，O，M四点共圆，所以OAMOPM.由(I)得OPAP.由圆心O在PAC的内部可知OPMAPM90所以OAMAPM90.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：(I)曲线C的方程为即,所以曲线C的极坐标方程为：即2分直线l的参数方程为：（t为参数）5分(II)设A，B两点对应的参数分别为，将直线l的参数方程代入中 得7分所以 8分由题意得，解得或或 10分
