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1、福建省三明市2020届高三数学5月质量检查测试试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足（是虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】求出的标准形式，得出对应点坐标，从而得出结果.【详解】解：因为复数满足（是虚数单位），所以，复数对应的点为，落在第三象限故选C.【点睛】本题考查了复数的运算与复数的几何意义，解题的关键是根据复数运算规则得出复数的标准形式.2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【
2、分析】求出集合A、B对应的范围，根据交集规则得出结果.【详解】解：因为集合，所以，因为，所以，故故选A.【点睛】本题考查了集合的交集问题，解题的关键是求解出两个集合中的不等式.3.在中，点在边上，且，设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】在中将向量分解为，再利用共线定理将转化为，最后将转化为，从而解决问题.【详解】解：在中，因为，所以，又因为,所以，故选A.【点睛】本题考查了向量的线性运算问题，熟练运用三角形法则与共线定理是本题解题的关键.4.已知实数满足约束条件，则的最小值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 9【答案】B【解析】【分析】作出约束条件对应的平面区域，根
3、据线性规划知识将直线进行平移，得出最值.【详解】解：作出约束条件对应的平面区域，如图所示，目标形式的几何意义是一条斜率为的直线，当直线平移经过点A时，取得最小，联立方程组，解得点A的坐标为（0,2），故，故选B.【点睛】本题考查了线性规划的知识，解题的关键是能准确地作出不等式组对应的平面区域，还要能准确地解析出目标形式的几何意义.5.执行如图所示的程序框图，若输入的的值分别为1，2，则输出的是（ ）A. 70B. 29C. 12D. 5【答案】B【解析】【分析】此程序框图是循环结构图，模拟程序逐层判断，得出结果.【详解】解： 模拟程序：的初始值分别为1,2，4，第1次循环：，不满足；第2次循环
4、：，不满足； 第3次循环：，满足，故输出.故选B.【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，解题的关键是要读懂循环结构的流程图，根据判断框内的条件逐步解题.6.下列数值最接近的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用两角和差公式将每一个选项进行合并，再利用三角函数图像比较每一选项的大小，从而得出结果.【详解】解：选项A：；选项B：；选项C：；选项D：，经过化简后，可以得出每一个选项都具有的形式，要使得选项的数值接近，故只需要接近于，根据三角函数图像可以得出最接近，故选D.【点睛】本题考查了两角和差公式、诱导公式、三角函数图像等知识，解题的关键是熟练运用三角变换公式将每一个选项
5、转变为相似的形式.7.在直三棱柱中，.以下能使的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据条件直三棱柱中，可以得出平面，故能得到，要证，即证明平面，从而得出答案.【详解】解：因为直三棱柱所以，又因为，所以因为，平面，所以平面，所以，那么，要证，故只需要证明平面，即证，因为直三棱柱的侧面都是长方形，当增加条件时，则可以得到，因为，平面，所以平面，所以.故选B.【点睛】本题考查了线面垂直、线线垂直的问题，解题的关键是从选项中寻找出条件，得出线面垂直，从而得出线线垂直.8.将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.如图是的部分图像，其中是其与轴的两个交点，是其上的点，且是等
6、腰直角三角形.则与的值分别是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】先由求出，然后根据是等腰直角三角形，求得，得到周期求出的值，将A点代入函数中去，解出.【详解】解：将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数为，因为是等腰直角三角形，所以，即，解得，所以周期，即，故，解得，当时，即，解得：，因为，所以，故选D.【点睛】本题考查了根据三角函数图像求解参数的问题，三角函数中常见的几个参数的一般解法是：由的值可以解出的值，由最值可以得出的值，由特殊点可以得出的值.9.斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，画出来的螺旋曲线.如图，白色小圆内切于
7、边长为1的正方形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为的扇形，将其圆弧连接起来得到的.若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出阴影部分的面积，再求出矩形的面积，根据几何概型的计算公式进行求解.【详解】解：由图可知，阴影部分的面积为 ，矩形的面积为，故此点取自阴影部分的概率为，故选D.【点睛】本题考查了几何概型的问题，几何概型往往以长度、面积、体积为测度，熟记几何概型的计算公式是关键.10.已知直线与中心在原点的双曲线交于两点，是的右焦点，若，则的离心率为（ ）A. B. C. 2
8、D. 【答案】A【解析】【分析】由，得到，由对称性可知是的中点，从而可得，再由直线的斜率为得到,可得到点B的坐标，将点B的坐标代入到双曲线方程得到关于的等量关系式，得出离心率.【详解】解：因为直线经过原点，所以直线与双曲线的交点A、B关于原点对称，所以，即是的中点，因为若，所以,故，直线的斜率为，所以,故，将点代入双曲线得，即，因为，故，即，解得：或因为，所以，故选A.【点睛】本题考查了双曲线的离心率问题，解决问题的关键是要能从题意中将关于的等量关系式构造出来.11.依照某发展中国家2020年的官方资料，将该国所有家庭按年收入从低到高的顺序平均分为五组，依次为第一组至第五组，各组家庭的年收入总
9、和占该国全部家庭的年收入总和的百分比如图所示.以下关于该国2020年家庭收入的判断，一定正确的是（ ）A. 至少有的家庭的年收入都低于全部家庭的平均年收入B. 收入最低的那的家庭平均年收入为全部家庭平均年收入的C. 收入最高的那的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的D. 收入最低的那的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的【答案】C【解析】【分析】设出所有家庭年收入总和、家庭数，得出所有家庭的平均收入，基于条件“按年收入从低到高的顺序”的情况下，逐一分析各选项的正误， 从而得出结果.【详解】解：设所有家庭年收入总和为100，共有5n个家庭，则所有家庭平均收入为，选项A，第四组、第五组家庭的平
10、均收入均超过，故极有可能第四组、第五组全部的家庭的收入均超过全部家庭的年平均收入，虽第三组家庭平均年收入为，由于按年收入从低到高的顺序排列，故仍有可能存在部分家庭年收入超过，这样家庭年收入超过的比率有可能超过，故A选项不正确； 选项B，收入最低的那的家庭平均年收入，为全部家庭平均收入的，故选项B不正确；选项C，收入最高那的家庭数应为第四组一半家庭数与第五组家庭数的和，由于按年收入从低到高的顺序排列，故总收入大于，收入最高的那的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的，选项C正确；选项D，收入最低的那的家庭数应为第三组家庭数的一半与第一、二组家庭数的和，由于按年收入从低到高的顺序排列，故总收入小于
11、，收入最低的那的家庭年收入总和不会超过全部家庭年收入总和的，选项D不正确.故本题选C.【点睛】本题考查了条形图的知识，认识理解条形图是解题的关键.12.已知函数的定义域为，其导函数为.若，且，则下列结论正确的是（ ）A. 是增函数B. 是减函数C. 有极大值D. 有极小值【答案】A【解析】【分析】对化简可得，即为，设函数，研究函数 的性质，从而得到的单调性与极值，从而得到答案.【详解】解：设函数因为化简可得，即为，故，因为所以恒成立，所以在上单调递增，又因为，所以，所以当时，当时，当时，故恒成立；当时，故恒成立；所以在上恒成立，故在上单调递增，故函数没有极值，不可能单调递减所以选A.【点睛】本
12、题考查了导数在函数中的应用，解题的关键是构造新函数，由新函数的性质得出原函数的性质，从而解决问题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数，则_【答案】6【解析】【分析】先求出的值，然后再求出.【详解】解：因为函数，所以，所以.【点睛】本题考查了分段函数求函数值的问题，分段函数是一个函数，分段不分家，一般需要分情况讨论.14.在的展开式中，的系数为_【答案】-30【解析】【分析】将视作为，计算出第项，从而得出的系数.【详解】解：故，因为要求的系数，所以或5，当时，的系数为，当时，的系数为，所以的系数为.【点睛】本题考查了二项式定理的知识，解题的关键是要将转化为来求解
13、，进而分类讨论得到结果.15.已知以为焦点的抛物线上的两点满足，则的中点到轴的距离为_【答案】【解析】【分析】设出点A、B的坐标，代入抛物线方程与，求出A、B的坐标，从而得到的中点到轴的距离.【详解】解 ：设，因为两点满足，所以，即解得：，故，的中点到轴得距离为.【点睛】本题考查了向量的坐标运算，抛物线的定义等知识，解题时设出变量，列出方程组，得出变量的值，根据图形解决问题.16.已知是边长为2的等边三角形，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为_【答案】【解析】分析】当三棱锥体积最大时，分析得出点C的位置，再根据球的性质，在直角三角形中解出球的半径，从而求得球的表面积.【详解】解：取的中点，
14、连接，设的外接圆的圆心为，的外接圆的圆心为，因为是边长为2的等边三角形，所以面积确定，要使三棱锥体积最大，即要使点到平面的距离最大，只有当平面平面时，体积最大，即点到边的距离最大，三棱锥的体积最大，因为，且，外接圆的半径为，所以点在外接圆上运动，如图所示当点满足时，点到边的距离最大，三棱锥的体积最大.此时三棱锥的高即为的长，此时外接圆的圆心在上，根据球的性质可知，故四边形为矩形，故，在中，球的半径平方为，所以球的表面积为.【点睛】本题考查了锥体与球体的位置关系，解题的关键是要确定锥体上各点、线、面与球体之间的关系，同时还要对球体的性质有清晰的认识.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列的前项和为，且，.（1）求数列的前项和；（2）设，数列的前项和为，求证.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）对进行退位相减，求得与之间的关系，得出的通
