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1、章末综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.将曲线ysin 2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为()A.y3sin xB.y3sin 2xC.y3sinxD.ysin 2x【解析】由伸缩变换，得x，y.代入ysin 2x，有sin x，即y3sin x.变换后的曲线方程为y3sin x.【答案】A2.极坐标方程sin (R，0)表示的曲线是()A.两条相交直线B.两条射线C.一条直线D.一条射线【解析】sin ，所以(0)和(0)，故其表示两条射线.【答案】B3.极坐标方程cos 化
2、为直角坐标方程为()A.2y2B.x22C.x22D.2y2【解析】由cos ，得2cos ，所以x2y2x，即2y2.故选D.【答案】D4.点A的球坐标为，则它的直角坐标为() 【导学号：12990019】A.(1,1，)B.(1,1，)C.(1，1，)D.(1,1，)【解析】xrsin cos 2sincos1，yrsin sin 2sinsin1，zrcos 2cos.所以直角坐标为(1,1，)，故选A.【答案】A5.与点A(1,0)和点B(1,0)连线的斜率之和为1的动点P的轨迹方程是()A.x2y23B.x22xy1(x1)C.yD.x2y29(x0)【解析】设P(x，y)，则kPA
3、(x1)，kPB(x1).又kPAkPB1，即1，得 x22xy1(x1)，故选B.【答案】B6.如图1，已知点P的极坐标是(1，)，则过点P且垂直极轴的直线的极坐标方程是()图1A.1B.cos C.D.【解析】由题图可知cos()1，即，故选C.【答案】C7.圆4cos 的圆心到直线tan 1的距离为()A.B.C.2D.2【解析】圆4cos 的圆心C(2,0)，如图，|OC|2，在RtCOD中，ODC，COD，|CD|.即圆4cos 的圆心到直线tan 1的距离为.【答案】B8.点M关于直线(R)的对称点的极坐标为()A.B.C.D.【解析】点M的直角坐标为，直线(R)，即直线yx，点关
4、于直线yx的对称点为，再化为极坐标，即.【答案】A9.极坐标方程cos 2sin 2表示的曲线为()A.一条射线和一个圆B.两条直线C.一条直线和一个圆D.一个圆【解析】方程cos 2sin 2可化为cos 4sin cos ，即cos 0或4sin ，方程cos 0即k，表示y轴，方程4sin 即x2y24y，表示圆，故选C.【答案】C10.圆r与圆2rsin(r0)的公共弦所在直线的方程为()A.2(sin cos )rB.2(sin cos )rC.(sin cos )rD.(sin cos )r【解析】圆r的直角坐标方程为x2y2r2，圆2rsin2rr(sin cos ).两边同乘以
5、得2r(sin cos ).xcos ，ysin ，2x2y2，x2y2rxry0.整理得(xy)r，即为两圆公共弦所在直线的普通方程.再将直线(xy)r化为极坐标方程为(cos sin )r.【答案】D11.圆2asin 关于极轴对称的圆的方程为()A.2acos B.2acos C.2asin D.2asin 【解析】法一：根据对称规律，把代入原方程，可得原方程表示的曲线关于极轴对称的曲线方程.2asin 关于极轴对称的曲线方程为2asin ()，即2asin .法二：因为圆2asin 的圆心是，半径为a，该圆关于极轴对称的圆的圆心应为，半径仍为a，其方程应为：2acos ，即2asin
6、.【答案】C12.直线和直线sin ()1的位置关系是()A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.重合【解析】直线化为直角坐标方程为yxtan ，sin ()1化为sin cos cos sin 1，即yxtan .所以两直线平行.【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上)13.点M的直角坐标为(1，2)，那么它的柱坐标为_.【解析】设柱坐标为(r，z)，则r2，又tan ，故柱坐标为.【答案】14.(陕西高考)在极坐标系中，点到直线sin1的距离是_.【解析】点化为直角坐标为(，1)，直线sin1化为1，yx1，xy10，点(，1)到直线xy10的距离为1
7、.【答案】115.已知点M的柱坐标为，则点M的直角坐标为_，球坐标为_.【解析】设点M的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(r，z)，球坐标为(r，)，由得由得即所以点M的直角坐标为，球坐标为.【答案】16.已知极坐标系中，极点为O，将点A绕极点逆时针旋转得到点B，且|OA|OB|，则点B的直角坐标为_. 【导学号：12990020】【解析】依题意，点B的极坐标为，coscoscoscossinsin，sinsinsincoscossin，xcos 4，ysin 4，点B的直角坐标为(，).【答案】(，)三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤)17.(本小
8、题满分10分)如图2建立球坐标系，正四面体ABCD的棱长为1，求A，B，C，D的球坐标(其中O是BCD的中心).图2【解】O是BCD的中心，OCODOB，AO，A，B，C，D.18.(本小题满分12分)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线(x5)2(y6)21，求曲线C的方程，并判断其形状.【解】将代入(x5)2(y6)21，得(2x5)2(2y6)21，即2(y3)2，故曲线C是以为圆心，半径为的圆.19.(本小题满分12分)已知C：cos sin ， 直线l：.求C上点到直线l距离的最小值.【解】C的直角坐标方程是x2y2xy0，即22.又直线l的极坐标方程为(cos s
9、in )4，所以直线l的直角坐标方程为xy40.设M为C上任意一点，M点到直线l的距离d，当时，dmin.20.(本小题满分12分)如图3，花坛水池中央有一喷泉，水管OP1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计为多少米(精确到整数位)?图3【解】如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0).依题意，有P(1，1)，p，故抛物线的方程为x2y.设B(x，2)，则x，|OB|1.所以水池的直径为2(1)5(m).即水池的直径至少应设计为5 m.21.(本小题满分12分)(1)在极坐标系中，求以点(1
10、,1)为圆心，半径为1的圆C的方程；(2)将上述圆C绕极点逆时针旋转得到圆D，求圆D的方程.【解】(1)设M(，)为圆上任意一点，如图，圆C过极点O，COM1，作CKOM于K，则|OM|2|OK|2cos(1)，故圆C的极坐标为2cos(1).(2)将圆C：2cos(1)按逆时针旋转得到圆D：2cos，即2sin(1)，故2sin(1)为所求.22.(本小题满分12分)在极坐标系中，极点为O，已知曲线C1：2与曲线C2：sin交于不同的两点A，B.(1)求|AB|的值；(2)求过点C(1,0)且与直线AB平行的直线l的极坐标方程.【解】(1)法一：2，x2y24.又sin，yx2.|AB|222.法二：设A(，1)，B(，2)，1，20,2)，则sin，sin.1，20,2)，|12|，即AOB，又|OA|OB|2，|AB|2.(2)法一：曲线C2的斜率为1，过点(1,0)且与曲线C2平行的直线l的直角坐标方程为yx1，直线l的极坐标为sin cos 1，即cos.法二：设点P(，)为直线l上任一点，因为直线AB与极轴成的角，则PCO或PCO，当PCO时，在POC中，|OP|，|OC|1，POC，PCO，OPC，由正弦定理可知：，即sin，即直线l的极坐标方程为：sin.同理，当PCO时，极坐标方程也为sin.当P为点C时显然满足sin.综上，所求直线l的极坐标方程为sin.9
