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1、专题升级训练29解答题专项训练(解析几何)1设有半径为3千米的圆形村落，A，B两人同时从村落中心出发，B向北直行，A先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B相遇设A，B两人速度一定，其速度比为31，问两人在何处相遇？2已知圆C：x2y22x4y40问是否存在斜率为1的直线l，使得l被圆C截得的弦为AB，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由 3设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k1，k2满足k1k220(1)证明l1与l2相交；(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2y21上4已知过抛物线y22px(p0)的
2、焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值5已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且2(1)求椭圆方程；(2)求m的取值范围6设椭圆C：1(ab0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，2(1)求椭圆C的离心率；(2)如果|AB|，求椭圆C的方程7已知点F1，F2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，
3、且|F1F2|2，F1PF2，F1PF2的面积为(1)求椭圆C的方程；(2)点M的坐标为，过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点，对于任意的kR，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由8已知抛物线C1：x2y，圆C2：x2(y4)21的圆心为点M(1)求点M到抛物线C1的准线的距离；(2)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点)，过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程参考答案1解：建立如图所示平面直角坐标系，由题意，可设A，B两人速度分别为3v千米/时，v千米/时，再设出发x0小时后，A在点P改变方向，又经过y0
4、小时，在点Q处与B相遇则P，Q两点坐标为(3vx0,0)，(0，vx0vy0)由|OP|2|OQ|2|PQ|2知，(3vx0)2(vx0vy0)2(3vy0)2，即(x0y0)(5x04y0)0.x0y00，5x04y0.将代入kPQ，得kPQ.又已知PQ与圆相切，直线PQ在y轴上的截距就是两人相遇的位置设直线yxb(b0)与圆x2y29 相切，则有3，解得b.答：A，B相遇点在离村中心正北千米处2解：假设l存在，设其方程为yxm，代入x2y22x4y40，得2x22(m1)xm24m40.再设A(x1，y1)，B(x2，y2)，于是x1x2(m1)，x1x2.以AB为直径的圆经过原点，即直线
5、OA与OB互相垂直，也就是kOAkOB1，所以1，即2x1x2m(x1x2)m20，将x1x2(m1)，x1x2，代入整理得m23m40，解得m4或m1.故所求的直线存在，且有两条，其方程分别为xy10，xy40.3证明：(1)假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1k2，代入k1k220，得k20，这与k1为实数的事实相矛盾从而k1k2，即l1与l2相交(2)方法一：由方程组解得交点P的坐标为，而2x2y22221.此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2y21上方法二：交点P的坐标(x，y)满足故知x0.从而代入k1k220，得20.整理后，得2x2y21.所以交点P在椭圆2x2y21上
6、4解：(1)直线AB的方程是y2，与y22px联立，从而有4x25pxp20，所以x1x2.由抛物线定义得|AB|x1x2p9，所以p4，从而抛物线方程是y28x.(2)由p4，知4x25pxp20可化为x25x40，从而x11，x24，y12，y24，从而A(1，2)，B(4,4)设(x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42)，又y8x3，所以2(21)28(41)，即(21)241，解得0，或2.5解：(1)由题意，知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为1(ab0)，由题意，知a2，bc，又a2b2c2，则b，所以椭圆方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知直线l的
7、斜率存在，设其方程为ykxm，与椭圆方程联立，即消去y则(2k2)x22mkxm240，(2mk)24(2k2)(m24)0，由根与系数的关系，知又2，即有(x1，my1)2(x2，y2m)，x12x2.22.整理，得(9m24)k282m2，又9m240时不成立，所以k20，得m24，此时0，所以m的取值范围为.6解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，y10，y20.(1)直线l的方程为y(xc)，其中c.联立得(3a2b2)y22b2cy3b40，解得y1，y2.因为2，所以y12y2.即2，得离心率e.(2)因为|AB|y2y1|，所以，由，得ba.所以a，得a3，b.椭圆
8、C的方程为1.7解：(1)设|PF1|m，|PF2|n.在PF1F2中，由余弦定理得22m2n22mncos，化简得，m2n2mn4.由，得mnsin.化简得mn.于是(mn)2m2n2mn3mn8.mn2，由此可得，a.又半焦距c1，b2a2c21.因此，椭圆C的方程为y21.(2)由已知得F2(1,0)，直线l的方程为yk(x1)，由消去y得，(2k21)x24k2x2(k21)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.y1y2k2(x11)(x21)(k21)x1x2(x1x2)k2(k21)k2.由此可知为定值8解：(1)由题意可知，抛物线的准线方程为：y，所以圆心M(0,4)到准线的距离是.(2)设P(x0，x)，A(x1，x)，B(x2，x)，由题意得x00，x01，x1x2.设过点P的圆C2的切线方程为yxk(xx0)，即ykxkx0x.则1，即(x1)k22x0(4x)k(x4)210.设PA，PB的斜率为k1，k2(k1k2)，则k1，k2是上述方程的两根，所以k1k2，k1k2.将代入yx2，得x2kxkx0x0，由于x0是此方程的根，故x1k1x0，x2k2x0，所以kABx1x2k1k22x02x0，kMP.由MPAB，得kABkMP1，解得x，即点P的坐标为，所以直线l的方程为yx4.
