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1、2017-2018学年高中数学第一章计数原理阶段通关训练新人教A版选修2-3第一章 计数原理阶段通关训练(60分钟100分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.由0,1,2,3,9十个实数和一个虚数单位i可以组成虚数的个数为()A.100B.10C.9D.90【解析】选D.复数a+bi(a,bR)为虚数,则a有10种可能,b有9种可能,共109=90种可能.2.如图,在由开关组A与B所组成的并联电路中,接通电源,每次只能闭合一个开关,则能使电灯发光的方法种数为()A.6B.5C.30D.1【解析】选B.只要合上图中任一开关,电灯就会发光,开关组A中有2个开关;开关组B中有3个开关,由分类加法
2、计数原理得共有2+3=5种方法.【补偿训练】(2017临汾高二检测)如图所示为一电路图,从A到B共有_条不同的串联电路线路可通电.【解析】按上、中、下三条线路可分为三类:上线路中有3条,中线路中有1条,下线路中有22=4(条),根据分类加法计数原理,共有3+1+4=8(条).答案:83.(2017郑州高二检测)甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有()A.36种B.48种C.96种D.192种【解析】选C.不同的选修方案共有=96种,故选C.4.若=6,则n的值为()A.6B.7C.8D.9【解析】选B.=6,解得n-3=4,n=7.5.如
3、图所示,花坛内有五个花池,有五种不同颜色的花卉可供栽种,每个花池内只能种同种颜色的花卉,相邻两池的花色不同,则最多的栽种方案有()A.180种B.240种C.360种D.420种【解析】选D.由题意知,最少用三种颜色的花卉,按照花卉选种的颜色可分为三类方案,即用三种颜色,四种颜色,五种颜色.当用三种颜色时,花池2,4同色和花池3,5同色,此时共有种方案.当用四种颜色时,花池2,4同色或花池3,5同色,故共有2种方案.当用五种颜色时有种方案.因此所有栽种方案为+2+=420(种).6.(2017常德高二检测)+除以9的余数是()A.7B.0C.3D.-2【解析】选A.原式=+-=(1+1)33-
4、1=233-1=811-1=(9-1)11-1=911-910+9-1=911-910+9-2=9M+7(M为整数).故余数为7.二、填空题(每小题5分,共20分)7.(2017青岛高二检测)若的展开式中x3的系数为,则常数a的值为_.【解析】Tk+1=(-1)ka9-k,令-9=3,得k=8,所以(-1)8a=a=,所以a=4.答案:48.(2016全国卷)(2x+)5的展开式中,x3的系数是_.(用数字填写答案)【解析】设展开式的第k+1项为Tk+1,k0,1,2,3,4,5,所以Tk+1=(2x)5-k()k=25-k.当5-=3时,k=4,即T5=25-4=10x3.答案:109.现有
5、高三(1)班参加校文艺演出的3男3女共6位同学,从左至右站成一排合影留念,要求3位女生有且只有两个相邻,则不同的排法有_种.【解析】先将3位女生分成两组,再将3位男生排成一排,用插空法将两组女生插入男生间(包含两端)空隙中,共有=432(种).答案:43210.用红、黄、蓝3种颜色之一去涂图中标号为1,2,9的9个小正方形(如图所示),使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有_种.123456789【解析】分三步进行涂色,第一步,给标号为1,5,9的小正方形涂色,有3种颜色可供选择.第二步,给标号为2,3,6的小正方
6、形涂色:若标号为3的小正方形的颜色与标号为1,5,9的小正方形的颜色相同,则标号为2,6的小正方形的颜色选择各有2种,根据分步乘法计数原理,其涂色方法有122=4(种);若标号为3的小正方形的颜色与标号为1,5,9的小正方形的颜色不同,则标号为3的小正方形的颜色选择有2种,标号为2,6的小正方形的颜色选择各有1种,根据分步乘法计数原理,其涂色方法有:211=2(种).综上所述,标号为2,3,6的小正方形涂色方法共有4+2=6(种).第三步,给标号为4,7,8的小正方形涂色,其涂色方法与标号为2,3,6的小正方形的涂色方法相同,也有6种.故根据分步乘法计数原理,符合条件的所有涂法共有366=10
7、8(种).答案:108三、解答题(共4小题,共50分)11.(12分)现有6本书,如果(1)分成三组,一组3本,一组2本,一组1本.(2)分给三个人,一人3本,一人2本,一人1本.分别求分法种数.【解析】(1)分三步完成:第一步,从6本书中取3本,有种取法;第二步,从剩下的3本中取2本,有种取法,第三步,剩下1本为一组,共有分法=60(种).(2)分给三人,由于哪个人得多少本书没有限制,所以可先按(1)的方法将书分组,再分配到人的方法,共有=360(种).12.(12分)一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球.(1)从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种?(2)若取一个红球记2
8、分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种?【解析】(1)将取出4个球分成三类情况:取4个红球,没有白球,有种;取3个红球,1个白球,有种;取2个红球,2个白球,有种,故有+=115种.(2)设取x个红球,y个白球,则故或或因此,符合题意的取法种数有+=186种.13.(13分)(1)求(1+2x)7的展开式中的第4项的系数.(2)求的展开式中x3的系数.【解析】(1)展开式的第4项为T4=(2x)3=280x3,所以第4项的系数是280.(2)设展开式的第k+1项为含x3的项,则Tk+1=x9-k=x9-2k,所以9-2k=3,k=3.即展开式中的第4项含x3,其系
9、数为=84.14.(13分)(2017烟台高二检测)已知的展开式中,只有第六项的二项式系数最大.(1)求该展开式中所有有理项的项数.(2)求该展开式中系数最大的项.【解析】(1)由题意可知:+1=6,所以n=10.所以Tr+1=2rx-2r=2r(0r10,且rN),要求该展开式中的有理项,只需令Z,所以r=0,2,4,6,8,10,所有有理项的项数为6项.(2)设第Tr+1项的系数最大,则即解得:r,因为rN,得r=7.所以展开式中的系数最大的项为T8=27=15360.【能力挑战题】由四个不同的数字1,2,4,x组成无重复数字的三位数.(1)若x=5,其中能被5整除的共有多少个?(2)若x
10、=9,其中能被3整除的共有多少个?(3)若x=0,其中的偶数共有多少个?(4)若所有这些三位数的各位数字之和是252,求x.【解析】(1)若x=5,则四个数字为1,2,4,5;又由要求的三位数能被5整除,则5必须在末尾,在1,2,4三个数字中任选2个,放在前2位,有=6种情况,即能被5整除的三位数共有6个.(2)若x=9,则四个数字为1,2,4,9;又由要求的三位数能被3整除,则这三个数字为1,2,9或2,4,9,取出的三个数字为1,2,9时,有=6种情况,取出的三个数字为2,4,9时,有=6种情况,则此时一共有6+6=12个能被3整除的三位数.(3)若x=0,则四个数字为1,2,4,0;又由要求的三位数是偶数,则这个三位数的末位数字为0或2或4,当末位是0时,在1,2,4三个数字中任选2个,放在前2位,有=6种情况,当末位是2或4时,有=8种情况,此时三位偶数一共有6+8=14个,(4)若x=0,可以组成=332=18个三位数,即1,2,4,0四个数字最多出现18次,则所有这些三位数的各位数字之和最大为(1+2+4)18=126,不合题意,故x=0不成立;当x0时,可以组成无重复三位数共有=432=24种,共用了243=72个数字,则每个数字用了=18次,则有252=18(1+2+4+x),解可得x=7.- 7 - / 7- 7 - / 7
