《高中数学第一章计数原理疑难规律方法学案北师大选修2-3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一章计数原理疑难规律方法学案北师大选修2-3（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章 计数原理1两个计数原理的灵活应用计数问题是数学中的重要研究对象，除了分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理论支持，对于较复杂的计数问题要针对其问题特点，灵活的运用列举法、列表法、树形图法等方法来帮助解决，使问题的解决更加实用、直观下面通过典例来说明一、列举法例1某公司电脑采购员计划用不超过300元的资金购买单价分别为20元、40元的鼠标和键盘，根据需要，鼠标至少买5个，键盘至少买3个，则不同的选购方式共有()A7种 B8种 C9种 D10种解析依据选购鼠标和键盘的不同个数分类列举求解若买5个鼠标，则可买键盘3、4、5个；若买6个鼠标，则可买键盘3、4个；若买7个鼠标，则可买键盘3、4个
2、；若买8个鼠标，则可买键盘3个；若买9个鼠标，则可买键盘3个根据分类加法计数原理，不同的选购方式共有322119种故选C.答案C点评本题背景中的数量不少，要找出关键数字，通过恰当分类和列举可得列举看似简单，但在解决问题中显示出其实用性，并且我们还可以通过列举的方法去寻求问题中的规律二、树形图法例2用前6个大写英文字母和19九个阿拉伯数字，以A1，A2，B1，B2，的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？解编写一个号码要先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字，我们可以用树形图列出所有可能的号码，如图由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不
3、相同，因此共有6954(个)不同的号码三、列表法例3四个人各写一张贺年卡，放在一起，然后每个人取一张不是自己写的贺年卡，共有多少种不同的取法？解把四个人分别编号、，对应写的贺年卡编号分别为1,2,3,4，将4张贺年卡的各种方法全部列举出来，如下表：四个人取贺年卡的方法222333444134144133441412212313221321方法编号123456789由表格可知，共有9种不同的方法点评本题是一个错排问题，难以直接运用两个计数原理计算借助表格，把各种情况一一列出，使问题直观解决四、直接法例4已知某容器中，H有3种同位素，Cl有2种同位素，Na有3种同位素，O有4种同位素，请问共可组成
4、多少种HCl和NaOH分子？解因为HCl由两种元素构成，所以分两步完成：第1步：选择氢元素，共有3种第2步：选择氯元素，共有2种由分步乘法计数原理得共有6种HCl分子同理，对于NaOH而言，分三步完成第1步：选择钠元素，有3种选法第2步：选择氧元素，有4种选法第3步：选择氢元素，有3种选法由分步乘法计数原理知共有34336(种)NaOH分子点评当问题情景中的规律明显，已符合分类加法计数原理或分步乘法计数原理中的某一类型时，可直接应用公式计算结果，但此法的关键是分清是“分类”还是“分步”问题2排列、组合的破解之术排列、组合，说它难吧，其实挺简单的，就是分析事件的逻辑步骤，然后用乘法原理、加法原理
5、计算就可说简单吧，排列、组合却是同学们(包括很多学习很好的同学)最没把握的事情，同样难度的几道题，做顺了，三下五除二，几分钟内解决问题；做不顺，则如一团乱麻，很长时间也理不顺思路下面就来谈谈破解常见排列、组合模型的常用方法！一、特殊元素优先法对于有特殊要求的元素的排列、组合问题，一般应对有特殊要求的元素优先考虑例1将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i1,2，6)，若a11，a33，a55，a1a3a5，则不同的排列方法有_种(用数字作答)解析由题意，a11，a33，a55，a1a3a5.第一步，可以先排a1，a3，a5，只有5种方法；第二步，再排a2，a4，a6，有A种方
6、法由乘法原理得，不同的排列方法共有5A30(种)答案30二、相邻问题捆绑法把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”一起排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上排列例2记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()A1 440种 B960种C720种 D480种解析先将两位老人排在一起有A种排法，再将5名志愿者排在一起有A种排法，最后将两位老人插入5名志愿者间的4个空位中有C种插入方法，由分步乘法计数原理可得，不同的排法有AAC960(种)答案B三、不相邻问题插空法某些元素不能相邻或某些元素要在某个特殊位置时
7、可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间例3五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，符合条件的排法共有()A48种 B192种C240种 D288种解析(用排除法)将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有A种排法，而女生可互换位置，所以共有AA种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有AA(种)，这时男生甲若插入中间位置不符合题意，故符合题意的排列种数为AAAA192.答案B四、至多至少问题间接法对于某些排列、组合问题的正面情况较复杂而其反面情况较简单，可先考虑无限
8、制条件的排列，再减去其反面情况的种数例4从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_种(用数字作答)解析从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员共有A种选法，其中甲、乙中有一人担任文娱委员的选法有CA种，故共有ACA36(种)选法答案 36五、多类元素组合分类取出当题目中元素较多，取出的情况也有多种时，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计例5如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有_种(
9、用数字作答)解析如果用两种颜色，则有C种颜色可以选择，涂法有2种如果用3种颜色涂色，有C种颜色可以选择，涂法有CC(C1)18(种)所以，不同涂色种数为C2C18390(种)答案390六、排列、组合混合先选后排对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列例6某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有_种(用数字作答)解析首先把5个班分成4组，即2,1,1,1，有种方法然后把4组分配到4个工厂，每个工厂安排一组有A种方法由分步乘法计数原理可得不同的安排方法有A240(种)答案2403正方体中的计数问题在解决关于正方体的排列、组合
10、问题时，要善于利用几何性质，借助图形帮助思考，这对解决问题将起到事半功倍的效果下面举例说明：例1从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有()A8种 B12种C16种 D20种解析从正方体的6个面中任取3个面共有C种不同选法，其中3个面均相邻的选法共有8种(此时三个面共有一个顶点)，故符合题意的选法共有C812(种)答案B变式训练1正方体的一条对角线与它的12条棱组成的异面直线共有_对答案6例2连接正方体任意两个顶点的直线中异面直线有_对解析确定一对异面直线需要四个不共面的点，而四个不共面的点可以构成一个四面体，而一个四面体有三对异面直线，因此“异面直线的对数3四面体数”，由于
11、以正方体的顶点为顶点的四面体共有58个，所以共有异面直线358174(对)答案174变式训练2过三棱柱任意两个顶点的直线共有15条，其中异面直线有()A18对 B24对 C30对 D36对答案D例3从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为()A56 B52 C48 D40解析由于正方体的各个面都是矩形，而1个矩形有4个直角三角形，因此有对应关系“直角三角形数4矩形数”，正方体共有12个矩形的面，所以直角三角形共有41248(个)答案C变式训练3从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中正三角形的个数为_答案84“隔板法”在计数问题中的妙用“隔板法”在计数问题
12、中有其特殊的适用背景，并且“隔板法”往往会使很复杂的问题得到巧妙的解决下面剖析一下隔板法适用条件，并选择几个实例来加以说明一、隔板法的适用条件排列、组合中的相同小球放进不同的盒子、名额分配或相同物品的分配等问题，是排列、组合中的难点问题，这类问题的基本模型是：将n个相同元素分组到m个不同对象中(nm)，每个对象至少有一个元素这类问题必须满足三个条件：小球必须相同；盒子必须不同；每个盒子至少有一个小球当满足这三个条件时，我们可以采用隔板法二、隔板法的实际应用应用120个相同的小球放入编号为1号、2号、3号的三个盒子里，要求每个盒子都不空，问有多少种放法？解如右图，用“0”表示小球，0000|00
13、000000|00000000在0与0之间的19个空档中插入2块隔板即可将小球分成3组，同时能够保证每组中至少有一个小球，所以一共有C171种放法点评解决此类问题的关键是，看题目情景是否满足隔板法的条件，若满足，则直接套用公式即可应用2方程x1x2x3x420的正整数解有多少个？解该问题转化为：将方程左边的x1、x2、x3、x4看成是4个盒子得到的小球数，右边的20看成是20个相同的小球这样就相当于20个相同的小球放入4个盒子里，要求每个盒子至少有一个小球，共有多少种不同的分配方法？这样，类似应用1可知，所以共有C969(种)点评不定方程x1x2x3xmn(n，mN，nm)的正整数解个数问题可
14、以转化为“将n个相同元素分给m个不同对象(nm)，每个对象至少有一个元素”的模型，进而采用隔板法求解整体概括：通过对隔板法的应用，可得下列结论：结论1：把n个相同的元素分成m组分配给m个人，每组不允许落空，则可将n个元素排成一排，从n1个间隔中，选出m1个插上隔板，每一种隔板的插法对应一种分配方法，则分配方法数NC.结论2：把n个相同的元素分成m组分配给m个人，某些组允许落空，则可将m1个隔板和n个元素排成一排，每一种隔板的插法对应一种分配方法，则分配方法数NC.试一试1将7个相同的小球放入4个不同的盒子中(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？解(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空格中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则不同的放入方式共有C20(种)(2)每种放入方式
