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1、4 简单计数问题学习目标1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.进一步深化排列与组合的概念.3.能综合运用排列、组合解决计数问题 知识点一两个计数原理1分类加法计数原理(加法原理)完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件事共有N_种方法2分步乘法计数原理(乘法原理)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事共有N_种方法3分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数它们的区别在于：分类加法
2、计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成. 知识点二排列1排列从n个_的元素中取出m(mn)个元素，按照一定的_排成一列，叫作从n个不同的元素中任意取出m个元素的一个排列2排列数排列数定义及表示从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作_排列数公式乘积式A_阶乘式A_排列数的性质A_；A_，0！1知识点三组合1组合一般地，从n个不同的元素中，任取m(mn)个元素为一组，叫作从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合2组合数(
3、1)组合数定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的_，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号_表示(2)组合数公式组合数公式乘积形式C_阶乘形式C备注n，mN，且mn，规定C_特别提醒：1.排列组合综合题的一般解法一般坚持先组后排的原则，即先选元素后排列，同时注意按元素性质分类或按事件的发生过程分类2解决有限制条件的排列、组合问题的一般策略(1)特殊元素优先安排的策略(2)正难则反，等价转化的策略(3)相邻问题捆绑处理的策略(4)不相邻问题插空处理的策略(5)定序问题除法处理的策略(6)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略(7)平均分组问题，除法处理的策略(8)构造模型的策略类
4、型一两个计数原理的应用命题角度1“类中有步”的计数问题例1电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有_种不同的结果反思与感悟用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示：具体意义如下：从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示所以，完成这件事的方法数为m1m2m3m4m5，“类”与“步”可进一步地理解为：“类”用“”号连接，“步”用“”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标
5、志一件事的完成，“步”缺一不可跟踪训练1现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有() A24种 B30种 C36种 D48种命题角度2“步中有类”的计数问题例2有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安排方式共有_种(用数字作答)反思与感悟用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示：从计数的角度看，由A到D算作完成一件事，可简单地记为A
6、D.完成AD这件事，需要经历三步，即AB，BC，CD.其中BC这步又分为三类，这就是步中有类其中mi(i1,2,3,4,5)表示相应步的方法数完成AD这件事的方法数为m1(m2m3m4)m5.以上给出了处理步中有类问题的一般方法跟踪训练2如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有()A11 B12 C20 D21类型二排列与组合的综合应用命题角度1不同元素的排列、组合问题例3有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？反思与感悟(1)解排列、组合综合问
7、题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列(2)解排列、组合综合问题时的注意点元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法跟踪训练3从1,3,5,7,9中任取3个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？命题角度2含有相同元素的排列、组合问题例4今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加区分，将这9个球排成一列，有_种不同的方法反思与感悟针对对部分元素相同的
8、n个不同元素进行排列的问题，有两种解决方法：(1)先把这些元素看作全不相同的元素进行排列，再设法消去相同元素的顺序(2)从位置进行分析，因为位置全不相同，可以分别给相同的每一类元素找位置跟踪训练4为减轻学生经济负担且又能满足学生求知要求，某班级利用班费买了4本相同的数学资料书、3本相同的外语资料书、2本相同的物理资料书作为班级图书供同学们学习使用现有8人去借阅图书，每人只能借阅一本，则有多少种借阅方法？1李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳的不同的选择方式有()A24种 B14种C10种 D9种2设4名学生报名参加同
9、一时间安排的3项课外活动的可能结果有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则(a，b)为()A(34,34) B(43,34)C(34,43) D(A，A)3三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如524,746等都是凹数，那么，各个数位上无重复数字的三位凹数有()A72个 B120个C240个 D360个4某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有_种5已知xi1,0,1，i1,2,3,4
10、,5,6，则满足x1x2x3x4x5x62的数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的个数为_1解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本计数原理作最后处理2对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏3对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏答案精析知识梳理知识点一1m1m2mn2m1m2mn知识点二1不同顺序2An(n1)(n2)(nm1)(n，mN，mn)n！1知识点三2(1)所有组合的个数C(2)1题型探究例128 800解析在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后
11、边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计算：(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有30292017 400(种)结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20193011 400(种)结果因此共有17 40011 40028 800(种)不同结果跟踪训练1D例2264跟踪训练2D例3解分三类：第一类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有CCCCA种第二类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有CCA种第三类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有CCA种故满足题意的所有不同的排法种数为CCCCA2CCA
12、432.跟踪训练3解(1)五位数中不含数字0.第1步，选出5个数字，共有CC种选法第2步，排成偶数先排末位数，有A种排法，再排其他四位数字，有A种排法所以N1CCAA.(2)五位数中含有数字0.第1步，选出5个数字，共有CC种选法第2步，排顺序又可分为两小类：末位排0，有AA种排列方法；末位不排0.这时末位数有C种选法，而因为0不能排在首位，所以首位有A种排法，其余3个数字则有A种排法所以N2CC(AAAA)所以符合条件的偶数个数为NN1N2CCAACC(AAAA)4 560.例41 260跟踪训练4解第一类：剩下的一本书是数学资料书，此时相当于把8个人分成个数分别为3,3,2的三堆，这三堆分别借阅数学、外语、物理资料书，其借法共有CCC560(种)第二类：剩下的一本书是外语资料书，此时相当于把8个人分成个数分别为4,2,2的三堆，这三堆分别借阅数学、外语、物理资料书，其借法共有CCC420(种)第三类：剩下的一本书是物理资料书，此时相当于把8个人分成个数分别为4,3,1的三堆，这三堆分别借阅数学、外语、物理资料书，其借法共有CCC280(种)根据分类加法计数原理，可得借阅方法共有5604202801 260(种)当堂训练1B2.C3.C4.365.907
