《高中数学第一章导数及其应用单元质量评估新人教A选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一章导数及其应用单元质量评估新人教A选修2-2（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用单元质量评估新人教A版选修2-2第一章 导数及其应用单元质量评估(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,且x0(a,b),的值为()A.f(x0)B.2f(x0)C.-2f(x0)D.0【解析】选B.=2=2=2f(x0).【补偿训练】若函数f(x)=exsinx,则此函数图象在点(4,f(4)处的切线的倾斜角为()A.B.0C.钝角D.锐角【解析】选C.f(x)=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx
2、)=exsin,f(4)=e4sin0,则此函数图象在点(4,f(4)处的切线的倾斜角为钝角.2.设函数y=f(x)=xex,则()A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=-1为f(x)的极大值点D.x=-1为f(x)的极小值点【解析】选D.令y=ex+xex=(1+x)ex=0,得x=-1,当x-1时,y-1时,y0.故x=-1时,y取得极小值.3.(2017武汉高二检测)已知f(x)=,且f(x-1)的图象的对称中心是(0,3),则f(2)的值为()A.-B.C.-D.【解析】选B.f(x)=a+1-,中心为(-1,a+1),由f(x-1)的中心为(0,3)知f
3、(x)的中心为(-1,3),所以a=2.所以f(x)=3-.所以f(x)=.所以f(2)=.4.已知f(x)=logax(a1)的导函数是f(x),记A=f(a),B=f(a+1)-f(a),C=f(a+1)则()A.ABCB.ACBC.BACD.CBA【解析】选A.记M(a,f(a),N(a+1,f(a+1),则由于B=f(a+1)-f(a)=,表示直线MN的斜率;A=f(a)表示函数f(x)=logax在点M处的切线斜率;C=f(a+1)表示函数f(x)=logax在点N处的切线斜率.又因为f(x)=logax(a1)单调递增,所以,ABC.5.(2017郑州高二检测)如图,在正方形OAB
4、C内任取一点,取到函数y=的图象与x轴正半轴之间(阴影部分)的点的概率等于()A.B.C.D.【解析】选B.阴影部分的面积为dx=,正方形OABC的面积为1,所以概率为.6.函数f(x)=4x-x4在x-1,2上的最大值、最小值分别是()A.f(1)与f(-1)B.f(1)与f(2)C.f(-1)与f(2)D.f(2)与f(-1)【解析】选B.f(x)=4-4x3,由f(x)0,得x1,由f(x)1,所以f(x)=4x-x4在x=1时取极大值f(1)=3,而f(-1)=-5,f(2)=-8,所以f(x)=4x-x4在-1,2上的最大值为f(1),最小值为f(2).【补偿训练】设函数g(x)=x
5、(x2-1),则g(x)在区间0,1上的最小值为()A.-1B.0C.-D.【解析】选C.g(x)=x3-x,由g(x)=3x2-1=0,解得x1=,x2=-(舍去).当x变化时,g(x)与g(x)的变化情况如下表:x01g(x)-0+g(x)0极小值0所以当x=时,g(x)有最小值g=-.7.由直线y=,y=2,曲线y=及y轴所围成的封闭图形的面积是()A.2ln2B.2ln2-1C.ln2D.【解析】选A.方法一:由图可知封闭图形的面积为+dx-=lnx=ln2-ln=2ln2.方法二:面积为dy=lny=ln2-ln=2ln2.8.若存在正数x使2x(x-a)1成立,则a的取值范围是()
6、A.(-,+)B.(-2,+)C.(0,+)D.(-1,+)【解析】选D.因为2x(x-a)x-.令f(x)=x-,所以f(x)=1+2-xln20.所以f(x)在(0,+)上单调递增,所以f(x)f(0)=0-1=-1,所以a的取值范围为(-1,+).9.已知a+lnx对任意x恒成立,则a的最大值为()A.0B.1C.2D.3【解析】选A.设f(x)=+lnx=+lnx-1,则f(x)=-+=.当x时,f(x)0,故函数f(x)在(1,2上单调递增.所以f(x)min=f(1)=0.所以a0,故a的最大值为0.【补偿训练】函数f(x)=ln-ax在(2,3)上单调递增,则实数a的取值范围是_
7、.【解析】f(x)=()-a=-a0在(2,3)上恒成立,即a()min,所以,所以a.答案:a10.定积分(xcosx+)dx的值等于()A.0B.2C.4D.【解析】选B.(xcosx+)dx=(xcosx)dx+dx=(xsinx+cosx)+4=0+2=2.11.(2017全国丙卷)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()A.-B.C.D.1【解析】选C.由题知f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a(e2-x-1+e-(2-x)+1)=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e1-x),所以f(2-x)=
8、f(x),即x=1为f(x)的对称轴,由题意知f(x)有唯一的零点,所以零点只能为x=1,即f(1)=-1+2a=0,解出a=.12.(2016四川高考)设直线l1,l2分别是函数f(x)=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PAB的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+)D.(1,+)【解析】选A.由题设知:不妨设P1,P2点的坐标分别为:P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中0x11x2,则由于l1,l2分别是点P1,P2处的切线,而f(x)=得l1的斜率k1为-,l2的斜率k2为;又l1与l2垂直,且0
9、x1x2,可得:k1k2=-=-1x1x2=1,我们写出l1与l2的方程分别为:l1:y=-(x-x1)-lnx1,l2:y=(x-x2)+lnx2,此时点A的坐标为(0,1-lnx1),点B的坐标为(0,-1+lnx2),由此可得:|AB|=2-lnx1-lnx2=2-ln(x1x2)=2,两式联立可解得交点P的横坐标为x=,PAB的面积为:SPAB=|AB|Px|=2=1,当且仅当x1=即x1=1时等号成立,而0x11,所以SPAB0;当x(0,2)时,f(x)0,x=-2,0,2对应的f(x)的值分别为a-40,a,a-8.因为a-40a-80,因此函数f(x)在0,1上单调递增,所以x
10、0,1时,f(x)min=f(0)=-1.根据题意可知存在x1,2,使得g(x)=x2-2ax+4-1,即x2-2ax+50,即a+能成立,令h(x)=+,则要使ah(x)在x1,2能成立,只需使ah(x)min,又函数h(x)=+在x1,2上单调递减,所以h(x)min=h(2)=,故只需a.答案:三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设函数f(x)=x3+ax2+bx+c满足下列条件:(1)在x=0处取极值2.(2)曲线y=f(x)与其上一点(0,2)处的切线所围成的图形的面积为,求a,b,c的值.【解析】因为f(x)=(x
11、3+ax2+bx+c)=3x2+2ax+b,所以f(0)=b=0,f(0)=c=2.所以f(x)=x3+ax2+2.因为f(x)=3x2+2ax,f(0)=0,所以f(x)在点(0,2)处的切线即为y=2,平行于x轴.令f(x)=0,得3x2+2ax=0,所以x=0或x=-.当-=0时,则a=0,f(x)=x3+2,在(0,2)点取不到极值,所以-0.当-0时,解方程组得x=0或x=-a.所以S=(x3+ax2+2-2)dx=-a4+a3=(a0).所以a=3.此时f(x)=x3+3x2+2,即a=3,b=0,c=2.当-0时,即a0时,解方程组得x=0或x=-a,所以S=(-x3-ax2-2+2)dx=-+=(a0),解得a=-3.此时f(x
