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1、2020届高考数学二轮复习 专题八 排列组合与概率统计【重点知识回顾】排列概念两个计数原理排列数公式排列应用组合概念组合组合数公式排列组合二项式定理组合数性质二项式定理通项公式应用二项式系数性质二、重点知识回顾1.排列与组合 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关. 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题. 排列与组合的主要公式排列数公式： (mn)A=n! =n(n1)(n
2、2) 21.组合数公式：(mn).组合数性质：(mn). 2.二项式定理 二项式定理(a +b)n =Can +Can1b+Canrbr +Cbn，其中各项系数就是组合数C，展开式共有n+1项，第r+1项是Tr+1 =Canrbr. 二项展开式的通项公式二项展开式的第r+1项Tr+1=Canrbr(r=0,1,n)叫做二项展开式的通项公式。 二项式系数的性质在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C= C(r=0,1,2,n).若n是偶数，则中间项(第项)的二项公式系数最大，其值为C；若n是奇数，则中间两项(第项和第项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C= C.所有二项
3、式系数和等于2n，即C+CC+C=2n.奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即C+C+=C+C+=2n1.3.概率（1）事件与基本事件：基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示（2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化（3）互斥事件与对立事件：事件定义集合角度理解关系互斥事件事件与不可能同时发生两事件交集为
4、空事件与对立，则与必为互斥事件；事件与互斥，但不一是对立事件对立事件事件与不可能同时发生，且必有一个发生两事件互补（4）古典概型与几何概型：古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个（5）古典概型与几何概型的概率计算公式：古典概型的概率计算公式：几何概型的概率计算公式：两种概型概率的求法都是“求比例”，但具体公式中的分子、分母不同（6）概率基本性质与公式事件的概率的范围为：
5、互斥事件与的概率加法公式：对立事件与的概率加法公式：（7） 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率是pn(k) = Cpk(1p)nk.实际上，它就是二项式(1p)+pn的展开式的第k+1项.（8）独立重复试验与二项分布一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验注意这里强调了三点：（1）相同条件；（2）多次重复；（3）各次之间相互独立；二项分布的概念：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率4
6、、统计（1）三种抽样方法简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回我们在抽样调查中用的是不放回抽取简单随机抽样的特点：被抽取样本的总体个数有限从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性每一次抽样时，每个个体等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性实施抽样的方法：抽签法：方法简单，易于理解随机数表法：要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出现0，1，2，9这十个数字的数表随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性系统抽样系统抽样适用于总体中的个
7、体数较多的情况系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段中进行抽样时，采用的是简单随机抽样系统抽样的操作步骤：第一步，利用随机的方式将总体中的个体编号；第二步，将总体的编号分段，要确定分段间隔，当（为总体中的个体数，n为样本容量）是整数时，；当不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数能被n整除，这时；第三步，在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号，再按事先确定的规则抽取样本通常是将加上间隔k得到第2个编号，将加上k，得到第3个编号，这样继续下去，直到获取整个样本分层抽样当总体由明显差别的几部分组成时，为了使抽样更好地反映总体情况，将总体中各个个体按某
8、种特征分成若干个互不重叠的部分，每一部分叫层；在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样分层抽样的过程可分为四步：第一步，确定样本容量与总体个数的比；第二步，计算出各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四步，将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本（2）用样本估计总体样本分布反映了样本在各个范围内取值的概率，我们常常使用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总体分布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定一组数据进行列表、作图处理作频率分布表
9、与频率分布直方图时要注意方法步骤画样本频率分布直方图的步骤：求全距决定组距与组数分组列频率分布表画频率分布直方图茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有的信息都可以从图中得到；二是茎叶图便于记录和表示，但数据位数较多时不够方便平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程度，其计算公式为 有时也用标准差的平方方差来代替标准差，两者实质上是一样的（3）两个变量之间的关系变量与变量之间的关系，除了确定性的函数关系外，还存在大量因变量的取值带有一定随机性的相关关系在本章中，我们学习了一元线性相关关系，通过建立回归直线方程就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解
10、分析两个变量的相关关系时,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘估计求出回归直线方程通常我们使用散点图，首先把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，形成散点图然后从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系：如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，其对应的方程叫做回归直线方程在本节要经常与数据打交道，计算量大，因此同学们要学会应用科学计算器（4）求回归直线方程的步骤：第一步：先把数据制成表，从表中计算出；第二步：计算回归系数的a，b，公式为第三步：写出回归直线方程（4）独立性检验列联
11、表：列出的两个分类变量和，它们的取值分别为和的样本频数表称为列联表1分类12总计12总计 构造随机变量（其中）得到的观察值常与以下几个临界值加以比较：如果，就有的把握因为两分类变量和是有关系；如果就有的把握因为两分类变量和是有关系；如果就有的把握因为两分类变量和是有关系；如果低于，就认为没有充分的证据说明变量和是有关系三维柱形图：如果列联表1的三维柱形图如下图由各小柱形表示的频数可见，对角线上的频数的积的差的绝对值较大，说明两分类变量和是有关的，否则的话是无关的图1 重点：一方面考察对角线频数之差，更重要的一方面是提供了构造随机变量进行独立性检验的思路方法。二维条形图（相应于上面的三维柱形图而
12、画）由深、浅染色的高可见两种情况下所占比例，由数据可知要比小得多，由于差距较大，因此，说明两分类变量和有关系的可能性较大，两个比值相差越大两分类变量和有关的可能性也越的否则是无关系的图2重点：通过图形以及所占比例直观地粗略地观察是否有关，更重要的一方面是提供了构造随机变量进行独立性检验的思想方法。等高条形图（相应于上面的条形图而画）由深、浅染色的高可见两种情况下的百分比；另一方面，数据要比小得多，因此，说明两分类变量和有关系的可能性较大，否则是无关系的图3重点：直观地看出在两类分类变量频数相等的情况下，各部分所占的比例情况，是在图的基础上换一个角度来理解。【典型例题】考点一：排列组合【方法解读
13、】1、解排列组合题的基本思路： 将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步 对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法； 是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；2、解排列组合题的基本方法： 优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置； 排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。 分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不重复不遗漏。 分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数
14、原理解决；在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。 插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。 捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。 穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数比较少的问题。【命题规律】排列组合的知识在高考中经常以选择题或填空题的形式出现，难度属中等。例1. （2020天津）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用
