《高中数学第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件教学案北师大选修2-1》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件教学案北师大选修2-1(10页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2 充分条件与必要条件 充分条件与必要条件古时候有个卖油郎叫洛孝,一天他在卖油回家的路上捡到30两银子,回家后其母亲叫洛孝把银子还给失主当洛孝把银子还给失主时,失主却说自己丢了50两银子,叫洛孝拿出自己私留的20两银子两人为此争执不休,告到县衙,县官听了两人的供述后,把银子判给洛孝,失主含羞离去设:A:洛孝主动归还所拾银两B:洛孝无赖银之情C:洛孝拾到30两银子,失主丢失50两银子D:洛孝所拾银子不是失主所丢问题1:县官得到结论B的依据是什么?它是B的什么条件?提示:A,充分条件问题2:县官由C得出什么结论?它是C的什么条件?提示:D,必要条件充分条件和必要条件如果“若p,则q”形式的命题为真
2、命题,即pq,称p是q的充分条件,同时称q是p的必要条件.充要条件已知:p:前年在伦敦举行第30届夏季奥运会q:前年是2012年问题1:“若p,则q”为真命题吗?p是q的什么条件?提示:是真命题,充分条件问题2:“若q,则p”是真命题吗?p是q的什么条件?提示:是真命题,必要条件问题3:p是q的什么条件?q是p的什么条件?提示:充要条件,充要条件充要条件(1)如果既有pq,又有qp,通常记作pq,则称p是q的充分必要条件,简称充要条件(2)p是q的充要条件也可以说成:p成立当且仅当q成立(3)如果p,q分别表示两个命题,且它们互为充要条件,我们称命题p和命题q是两个相互等价的命题(4)若pq,
3、但q/ p,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件(5)若p/ q,且q/ p,则p是q的既不充分也不必要条件充分条件与必要条件的判断,即对命题“若p,则q”与“若q,则p”进行真假判断,若是一真一假则p是q的充分不必要条件或必要不充分条件;若是两真则p是q的充要条件;若是两假则p是q的即不充分又不必要条件 充分条件、必要条件的判断例1下列各题中,p是q的什么条件?(1)p:a,b,c三数成等比数列,q:b;(2)p:yx4,q:x1,y3;(3)p:ab,q:2a2b;(4)p:ABC是直角三角形,q:ABC为等腰三角形思路点拨可先看p成立时,q是否成立,再反过来若q成立时,p是否
4、成立,从而判定p,q间的关系精解详析(1)若a,b,c成等比数列,则b2ac,b,则p/ q;若b,当a0,b0时,a,b,c不成等比数列,即q/ p,故p是q的既不充分也不必要条件(2)yx4不能得出x1,y3,即p/ q,而x1,y3可得xy4,即qp,故p是q的必要不充分条件(3)当ab时,有2a2b,即pq,当2a2b时,可得ab,即qp,故p是q的充要条件(4)法一:若ABC是直角三角形不能得出ABC为等腰三角形,即p/ q;若ABC为等腰三角形也不能得出ABC为直角三角形,即q/ p,故p是q的既不充分也不必要条件法二:如图所示:p,q对应集合间无包含关系,故p是q的既不充分也不必
5、要条件一点通充分必要条件判断的常用方法:(1)定义法:分清条件和结论,利用定义判断(2)等价法:将不易判断的命题转化为它的逆否命题判断(3)集合法:设Ax|p(x),Bx|q(x),若x具有性质p,则xA;若x具有性质q,则xB.若AB,则p是q的充分不必要条件;若BA,则p是q的必要不充分条件;若AB,则p是q的充要条件;若AB且BA,则p是q的既不充分又不必要条件1设集合Ax|0,集合Bx|x2|1,那么“mA”是“mB”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件解析:集合Ax|0x3,集合Bx|1x3,则由“mA”得不到“mB”,反之由“mB”也得不到“mA”
6、,故选D.答案:D2对任意实数a,b,c给出下列命题:“ab”是“acbc”的充要条件;“a5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;“ab”是“a2b2”的充分条件;“a5”是“ab”不能得出a2b2,如a1,b2,为假命题;“由a5”不能得“a3”,而由“a3”可得“a0的解集为R的充要条件是_解析:若x2ax10的解集为R,则a240,即2a2.又当a(2,2)时,0的解集为R,故不等式x2ax10的解集为R的充要条件是2a2.答案:2a25等差数列an的首项为a,公差为d,其前n项和为Sn,则数列Sn为递增数列的充要条件是_解析:由Sn1Sn(nN)(n1)adnad(nN)dna0(n
7、N)d0且da0.因此数列Sn为递增数列的充要条件是d0且da0.答案:d0且da06求证:关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.证明:先证必要性:方程ax2bxc0有一个根为1,x1满足方程ax2bxc0.a12b1c0,即abc0.必要性成立再证充分性:abc0,cab.代入方程ax2bxc0中可得:ax2bxab0,即(x1)(axba)0.故方程ax2bxc0有一个根为1.故关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.充分条件、必要条件的应用例3已知p:关于x的不等式x,q:x(x3)0,若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围思路点拨求出q对
8、应的集合,然后把问题转化为集合间的包含关系求解精解详析记Ax|x,Bx|x(x3)0x|0x3,若p是q的充分不必要条件,则AB.注意到Bx|0x3,分两种情况讨论:(1)若A,即,解得m0,此时AB,符合题意;(2)若A,即,解得m0,要使AB,应有综上可得,实数m的取值范围是(,3)一点通将充分、必要条件转化为集合的包含关系,是解决该类问题的一种有效的方法,关键是准确把p,q用集合表示,借助数轴,利用数形结合的方法建立方程或不等式,求参数的范围7已知条件p:x2x60,条件q:mx10(m0),且q是p的充分不必要条件,求m的值解:解x2x60得x2或x3,令A2,3,B,q是p的充分不必
9、要条件,B A.当2时,m;当3时,m.所以m或m.8已知Mx|(xa)21,Nx|x25x240,若xM是xN的充分条件,求a的取值范围解:由(xa)21得x22ax(a1)(a1)0,a1xa1,Mx|a1xa1又由x25x240得3x8,Nx|3x8xM是xN的充分条件,MN,解得2a7.故a的取值范围是2,71充分必要条件与四种命题之间的对应关系;(1)若p是q的充分条件,则原命题“若p,则q”及它的逆否命题都是真命题;(2)若p是q的必要条件,则逆命题及否命题为真命题;(3)若p是q的充要条件,则四种命题均为真命题2涉及利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时,常利用命题的
10、等价性进行转化,从集合的包含、相等关系上来考虑制约关系1“1x2”是“x2”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析:当1x2时,必有x2;而x2时,如x0,推不出1x2,所以“1x2”是“x2”的充分不必要条件答案:A2函数f(x)x2mx1的图像关于直线x1对称的充要条件是()Am2 Bm2Cm1 Dm1解析:函数f(x)x2mx1的图像关于x1对称1m2.答案:A3已知命题p:“a,b,c成等差数列”,命题q:“2”,则命题p是命题q的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析:若2,则ac2b,由此可得a,b,c成等差数列;当a,b,c成等差数列时,可得ac2b,但不一定得出2,如a1,b0,c1.所以命题p是命题q的必要不充分条件,故选A.答案:A4“a3”是“函数f(x)ax2在区间1,2上存在零点”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析:当a3时,f(1)f(2)(a2)(2a2)0,即函数f(x)ax2在区间1,2上存在零点;但当函数f(x)