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1、第四章 导数应用1利用导数研究函数单调性常见题型1运用导数求函数的单调区间利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)在定义域内解不等式f(x)0或f(x)0，得单调区间例1求函数f(x)x(ex1)x2的单调区间解由已知，得当f(x)(ex1)(x1)0时，有x0或x1.当x0；当1x0时，f(x)0时，f(x)0.故f(x)的递增区间是(，1)，(0，)，递减区间是(1,0)点评单调区间开闭不扣分，但定义域不取的数一定不能取；断开的单调区间一般不合写，也不用“”连接，中间用“，”或“和”连接例2已知函数f(x)x23x2ln x，则函数f(x)的单
2、调递减区间为_分析先求函数f(x)的定义域和导数，再结合定义域解f(x)0即可解析函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x3.令f(x)0，即2x30，且2x23x20，解得0x1时，ln x.分析可构造函数f(x)ln x()，由于f(1)0，故若能证明f(x)为(1，)上的增函数，即证明在(1，)上，导函数f(x)0恒成立即可证明令f(x)ln x()，则有f(1)0.因为f(x)x0，x(1，)，所以函数f(x)为(1，)上的增函数，又f(1)0，所以当x(1，)时，f(x)0恒成立，即ln x.点评证明不等式f(x)g(x)，x(a，b)的一般方法：构造函数F(x)f(x)g(x)
3、，x(a，b)，分析F(x)在区间(a，b)上的单调性及最小值与0的大小，进而说明F(x)0在(a，b)内恒成立即可3求参数的取值范围例4已知函数f(x)x3ax21.(1)若函数f(x)的单调递减区间是(0,2)，求实数a的值；(2)若函数f(x)在区间(0,2)上是减少的，求实数a的取值范围分析注意正确区分“在某区间单调”和“单调区间”的概念，避免混淆解(1)由f(x)的单调递减区间为(0,2)可知0与2是方程f(x)3x22ax0的两根，故有3222a20，解得a3.(2)因为函数f(x)在区间(0,2)上是减少的，所以f(x)3x22ax0在(0,2)上恒成立，即2a3x在区间(0,2
4、)上恒成立因为x(0,2)，所以3x(0,6)，故2a6，即a3.经验证a3时满足题意，故a的取值范围为3，)点评若函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则有f(x)0(f(x)0)对xD恒成立，这类问题，通常利用导数转化为不等式在某区间上的恒成立问题，进而把恒成立问题转化为求一个函数在某区间上的最大(小)值问题求解也可根据所给区间是单调递增(减)区间的子区间求解.2巧用导数求极值1函数的极值点的判定方法设函数f(x)在x0处连续，判定f(x0)是极大(小)值点的方法是：(1)如果在x0两侧f(x)符号相同，则x0不是函数f(x)的极值点；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，
5、那么f(x0)是极大值；(3)如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值也就是说，极大值点可以看成是函数递增区间与递减区间的分界点，极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值2极值常见题型详解(1)利用导数求函数的极值例1求函数f(x)xln x的极值点解f(x)ln x1，x0.而f(x)0ln x10x，f(x)0ln x100x0，f(x)在(0，)上是增加的，无极值；若a0，令f(x)0，得x.当x(0，)时，f(x)0，f(x)是增加的；当x(，)时，f(x)0时，f(x)的递增区间为(0，)，递减区间为(，
6、)，极大值为ln a1，无极小值点评本题通过求导，把问题转化为含参数的不等式问题，需要对问题进行讨论，讨论时需要全面，避免遗漏(3)极值问题的逆向考查例3已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极大值10，则的值为()A B2C2或 D不存在解析由题意知f(x)3x22axb.所以解得或经检验满足题意，所以.故选A.答案A点评本题是已知极值求参数，逆向考查了极值的含义，解题关键是需要对所求参数进行讨论，是否满足极值的条件如果不满足，需要舍去3分类讨论思想在导数中的应用分类讨论思想在导数中的应用非常广泛，尤其是在求含参数的函数的单调区间、极值或最值的问题中，那么如何确定分类讨论的标准呢
7、？1按导数为零的根的大小来分类例1设函数f(x)x(xa)2(xR)，其中aR且a0，求函数f(x)的极大值和极小值解f(x)(3xa)(xa)，令f(x)0，解得xa或x.当a，即a0，x(，)时，f(x)0，x(a，)时，f(x)0，因此，函数f(x)在x处取得极小值a3，在xa处取得极大值0.当a，即a0，x(，a)时，f(x)0，x(，)时，f(x)0，此时f(x)0，函数f(x)是减少的；当x(1，)时，h(x)0，函数f(x)是增加的(2)当a0时，由f(x)0，解得x11，x21，当a，即x1x2时，h(x)0恒成立，此时f(x)0，f(x)在(0，)上是减少的；当0a10，x(
8、0,1)时，h(x)0，f(x)0，f(x)是减少的，x(1，1)时，h(x)0，f(x)是增加的，x(1，)时，h(x)0，f(x)0，f(x)是减少的；当a0时，100，f(x)0，f(x)是减少的，x(1，)时，h(x)0，f(x)是增加的综上所述：当a0时，函数f(x)在(0,1)上是减少的，在(1，)上是增加的；当a时，函数f(x)在(0，)上是减少的；当0a2时，方程g(x)0的根为x1ln 0，此时，若x(0，x2)，则g(x)0，故g(x)在区间(0，x2)内为减函数所以x(0，x2)时，g(x)g(0)0，即f(x)ax，与题设f(x)ax相矛盾综上所述，满足条件的实数a的取值范围为(，2点评本题对函数求导后应根据导数中含自变量部分的最值对a进行分类讨论小结通过以上几例我们可以总结出分类讨论的原则：(1)要有明确的分类标准；(2)分类要不重复、不遗漏；(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行分类讨论的一般步骤为：先明确讨论对象，确定对象的范围，再确定分类标准，逐段分析，获得阶段性结果，最后归纳总结得出结论6
