《高中数学第三章数系的扩充与复数的引入单元质量评估新人教A选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第三章数系的扩充与复数的引入单元质量评估新人教A选修2-2（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2017-2018学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入单元质量评估新人教A版选修2-2第三章 数系的扩充与复数的引入单元质量评估(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a是实数,是纯虚数,则a等于()A.1B.-1C.D.-【解析】选A.=是纯虚数,则a-1=0,a+10,解得a=1.【补偿训练】复数a2-b2+(a+|b|)i(a,bR)为纯虚数的充要条件是()A.a=bB.a0,且abD.a0,且a=b【解析】选D.由已知复数为纯虚数得即所以a0且a=b.【误区警示】求一个复数是纯虚数的条件.
2、避免出现只限制实部等于0,而忽视虚部不等于0的条件的错误.2.(2016山东高考)若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i【解题指南】利用共轭复数的性质解题.【解析】选B.设z=a+bi(a,bR),则2z+=3a+bi=3-2i,所以a=1,b=-2,所以z=1-2i.3.复数|z|=1,且z1,则是()A.实数B.纯虚数C.非纯虚数D.复数【解析】选B.设z=x+yi(x,yR),由z1,知y0,因为|z|=1,所以x2+y2=1,所以=i,因为y0,所以该数为纯虚数.4.(2016全国卷)设(1+2i)(a+i)的实部
3、与虚部相等,其中a为实数,则a=()A.-3B.-2C.2D.3【解析】选A.因为(1+2i)(a+i)=a-2+(1+2a)i,其实部与虚部相等,即a-2=1+2a,解得a=-3.5.设zC,若z2为纯虚数,则z在复平面上的对应点落在()A.实轴上B.虚轴上C.直线y=x(x0)上D.以上都不对【解析】选C.设z=x+yi(x,yR),则z2=(x+yi)2=x2-y2+2xyi.因为z2为纯虚数,所以所以y=x(x0).6.复数(i是虚数单位)的共轭复数是()A.-iB.+iC.-iD.-+i【解析】选B.=-i,所以其共轭复数为+i.7.(2017全国丙卷)设复数z满足(1+i)z=2i
4、,则|z|=()A.B.C.D.2【解析】选C.由题意知:z=i+1,则|z|=.8.如图,在复平面内,复数z1和z2对应的点分别是A和B,则=()A.+iB.+iC.-iD.-i【解析】选C.由题图知,z1=-2-i,z2=i,所以=-i.9.复数1+在复平面上对应的点的坐标是()A.(1,1)B.(-1,1)C.(-1,-1)D.(1,-1)【解析】选D.1+=1-i,所以对应的点的坐标为(1,-1).10.如果一个复数与它的模的和为5+i,那么这个复数是()A.B.iC.+iD.+2i【解析】选C.设z=x+yi(x,yR),因为z+|z|=5+i,所以x+yi+=5+i,所以解得所以z
5、=+i.【补偿训练】若|z|=2,且|z+i|=|z-1|,则复数z=_.【解析】设z=a+bi(a,bR),则解得或答案:(1-i)或-(1-i)11.(2017济宁高二检测)在复平面内,复数=-+i对应的向量为,复数2对应的向量为,则向量对应的复数是()A.1B.-1C.iD.-i【解题指南】先求出对应的复数2,再由=-,求对应的复数.【解析】选D.2=-i.因为=-,故对应的复数为-=-i.【补偿训练】在复平面内,复数z=1-i对应的向量为,复数z2对应的向量为,那么向量对应的复数为()A.1-iB.1+iC.-1+iD.-1-i【解析】选D.复数z=1-i对应的向量为,复数z2=-2i
6、对应的向量为,则向量对应的复数为:-2i-(1-i)=-1-i.12.设z1,z2为复数,则下列四个结论中正确的是()A.若+0,则-B.|z1-z2|=C.+=0z1=z2=0D.z1-是纯虚数或零【解析】选D.举例说明:若z1=4+i,z2=2-2i,则=15+8i,=-8i,+0,但与-都是虚数,不能比较大小,故A错误;因为|z1-z2|2不一定等于(z1-z2)2,故|z1-z2|与不一定相等,故B错误;若z1=2+i,z2=1-2i,则=3+4i,=-3-4i,+=0,但z1=z2=0不成立,故C错误;设z1=a+bi(a,bR),则=a-bi,故z1-=2bi,当b=0时,是零,当
7、b0时,是纯虚数,故D正确.【补偿训练】对任意复数z=x+yi(x,yR),i为虚数单位,则下列结论正确的是()A.|z-|=2yB.z2=x2+y2C.|z-|2xD.|z|x|+|y|【解析】选D.因为=x-yi,所以z-=2yi,所以|z-|=2|y|,所以A错,易知C也不正确.因为z2=(x+yi)2=(x2-y2)+2xyi,所以B错,因为|z|=|x|+|y|,故D正确.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知复数z=1+i,则-z=_.【解析】-z=-1-i=-1-i=-2i.答案:-2i14.(2017银川高二检测)如果x-1+yi
8、与i-3x是共轭复数(x,y是实数),则x+y=_.【解析】由题意得x-1=-3x,y=-1,解得x=,y=-1,所以x+y=-.答案:-15.在复数范围内解方程|z|2+(z+)i=(i为虚数单位),则z=_.【解析】原方程化简为|z|2+(z+)i=1-i,设z=x+yi(x,yR),代入上述方程得x2+y2+2xi=1-i,所以x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=,所以原方程的解是z=-i.答案:-i16.已知i是虚数单位,是复数z的共轭复数,若复数z满足(z-i)(1-i)=4,则在复平面内对应的点位于第_象限.【解析】由已知得,z-i=2+2i,所以z=2+3i,则z的共轭复
9、数为=2-3i,对应的点为(2,-3),位于第四象限.答案:四【补偿训练】在复平面内,复数z满足=,则z对应点的坐标是_.【解析】因为|+i|=2,则=1-i,z=1+i,所以复数z的对应点的坐标是(1,1).答案:(1,1)三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知复数z1=a2-3+(a+5)i,z2=a-1+(a2+2a-1)i(aR)分别对应向量,(O为原点),若向量对应的复数为纯虚数,求a的值.【解析】对应的复数为z2-z1,则z2-z1=a-1+(a2+2a-1)i-a2-3+(a+5)i=(a-a2+2)+(a2+
10、a-6)i.因为z2-z1是纯虚数,所以解得a=-1.18.(12分)已知|z1|=1,|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|.【解析】在坐标系内以原点O为起点作出z1,z2对应的向量,如图,则向量对应z1+z2,对应z1-z2.由题意知|=1,|=1,|=,可得OZ1Z=120,所以Z2OZ1=60.所以在Z2OZ1中,|=1,即|z1-z2|=1.【一题多解】设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),由题设知a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=3.所以2(ac+bd)=1.因为|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2
11、-2(ac+bd)=1+1-1=1,所以|z1-z2|=1.19.(12分)已知复数z1,z2满足10+5=2z1z2,且z1+2z2为纯虚数,求证:3z1-z2为实数.【解题指南】对10+5=2z1z2配方,得到(3z1-z2)2+(z1+2z2)2=0,z1+2z2为纯虚数,纯虚数的平方为实数,则3z1-z2为实数.【证明】由10+5=2z1z2,得10-2z1z2+5=0即(3z1-z2)2+(z1+2z2)2=0,那么(3z1-z2)2=-(z1+2z2)2=(z1+2z2)i2由于z1+2z2为纯虚数,可设z1+2z2=bi(bR且b0),所以(3z1-z2)2=b2,从而3z1-z
12、2=b,故3z1-z2为实数.20.(12分)已知z为复数,z+2i为实数,且(1-2i)z为纯虚数,其中i是虚数单位.(1)求复数z.(2)若复数满足|-|=1,求|的最小值.【解题指南】(1)求复数z时采用待定系数法,首先设z=a+bi(a,bR),代入已知条件得到关于a,b的方程,从而解得a,b,得到复数z.(2)采用待定系数法得到复数实虚部的关系式,进而结合两点间距离公式得到|的最小值【解析】(1)设z=a+bi(a,bR),则z+2i=a+(b+2)i,因为z+2i为实数,所以有b+2=0,(1-2i)z=(1-2i)(a+bi)=a+2b+(b-2a)i,因为(1-2i)z为纯虚数
13、,所以a+2b=0,b-2a0,由解得a=4,b=-2.故z=4-2i.(2)因为z=4-2i,则=4+2i,设=x+yi(x,yR),因为|-|=1,即(x-4)2+(y-2)2=1又|=,故|的最小值即为原点到圆(x-4)2+(y-2)2=1上的点距离的最小值,因为原点到点(4,2)的距离为=2,又因为圆的半径r=1,原点在圆外,所以|的最小值即为2-1.21.(12分)已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(aR)有实数根b.(1)求实数a,b的值.(2)若复数z满足|-a-bi|-2|z|=0,求当z为何值时,|z|有最小值?并求出|z|的最小值.【解析】(1)因为b是方程x
14、2-(6+i)x+9+ai=0(aR)的实根,所以(b2-6b+9)+(a-b)i=0,故解得a=b=3.(2)设z=m+ni(m,nR),由|-3-3i|=2|z|,得(m-3)2+(n+3)2=4(m2+n2),即(m+1)2+(n-1)2=8,所以Z点的轨迹是以O1(-1,1)为圆心,以2为半径的圆.如图,当Z点在直线OO1上时,|z|有最大值或最小值.因为|OO1|=,半径r=2,所以当z=1-i时,|z|有最小值,且|z|min=.【补偿训练】已知复数z=1-2i(i为虚数单位).(1)把复数z的共轭复数记作,若z1=4+3i,求复数z1.(2)已知z是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,求实数p,q的值.【解析】(1)由题意得=1+2i,所以z1=2-i.(2)由题意知2
