《高中数学第三章函数的应用3.2.2函数模型的应用实例学案新人教A版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第三章函数的应用3.2.2函数模型的应用实例学案新人教A版必修1（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2.2函数模型的应用实例学习目标1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点).2.能建立函数模型解决实际问题(重、难点)预习教材P102P106，完成下面问题：知识点1常见的函数模型常用函数模型(1)一次函数模型ykxb(k，b为常数，k0)(2)二次函数模型yax2bxc(a，b，c为常数，a0)(3)指数函数模型ybaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)(4)对数函数模型ymlogaxn(m，a，n为常数，m0，a0且a1)(5)幂函数模型yaxnb(a，b为常数，a0)(6)分段函数y【预习评价】一个矩形的周长是40，矩形的长y关于宽x的函数解析式为()Ay20x(0x10)By
2、202x(0x20)Cy40x(0x10)Dy402x(0xx，所以0x10，故选A答案A知识点2解决函数应用问题的步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原这些步骤用框图表示如图：【预习评价】某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)40QQ2，则总利润L(Q)的最大值是_万元解析L(Q)40QQ210Q2 000Q230Q2 000(Q300)22 500，当Q300时，L(Q)的最大值为2 500万元答案2 500题型一一次函数、二次函数
3、模型【例1】商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？解(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则x(100,300，nkxb(k0)，0300kb，即b300k，nk(x300)利润y(x100)k(x300)k(x200)21
4、0 000k(x(100,300)k0且a1，m0)，在实际问题中，有关人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示(2)对数型函数模型：ymlogaxc(m0，a0且a1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解(3)指数型、对数型函数应用题的解题思路：依题意，找出或建立数学模型，依实际情况确立解析式中的参数，依题设数据解决数学问题，得出结论【训练2】一片森林原来面积为a，计算每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止，森林面积为a.(1)求p%的值；(2)到今年
5、为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？解(1)由题意得a(1p%)10，即(1p%)10，解得p%1.(2)设经过m年森林面积为a，则a(1p%)ma，即，得，解得m5.故到今年为止，已砍伐了5年(3)设从今年开始，n年后森林面积为a(1p%)n，令a(1p%)na，即(1p%)n，得，解得n15，故今后最多还能砍伐15年题型三分段函数模型【例3】经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)802t(件)，价格近似满足于f(t)(元)(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0t20)的函数表达式
6、；(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值解(1)由已知，由价格乘以销售量可得：y(2)由(1)知当0t10时yt210t1 200(t5)21 225，函数图象开口向下，对称轴为t5，该函数在t0,5递增，在t(5,10递减，ymax1 225(当t5时取得)，ymin1 200(当t0或10时取得)；当10200时，f(x)30 000100x是减函数，f(x)30 00010020012 500.所以当x150时，f(x)取最大值，最大值为12 500.所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元题型四建立拟合函数模型解决实际问题【例4】为了估计山上积雪融化后对下游
7、灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示.年序最大积雪深度x(cm)灌溉面积y(公顷)115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；(3)根据所建立的函数模型，估计若变今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？解(1)描点、作图，如图(甲)所示：(2)从图(甲)中可以看到，数据点大
8、致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型yabx(a，b为常数且b0)取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入yabx，得用计算器可得a2.2，b1.8.这样，得到一个函数模型：y2.21.8x，作出函数图象如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系(3)由(2)得到的函数模型为y2.21.8x，则由y2.21.825，求得y47.2，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地约为47.2公顷规律方法建立拟合函数与预测的基本步骤【训练4】我国1999年至2002年
9、国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：年份1999200020012002x/年0123生产总值8.206 78.944 29.593 310.239 8(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较解(1)画出函数图形，如图从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上设所求的函数为ykxb，把直线通过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式，解方程组，可得k0.677 7，b8.206 7.因此，所求的函数关系式为yf(x)0.677 7x8.206 7.(2)由得到的关系式计算出2000年和2001年的国内生产总值分别为f(1)0.677 718.206 78.884 4，f(2)0.677 728.206 79.562 1.与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元课堂达标1某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.时间1234利润(千元)23.988.0115.99现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的()Aylog2xBy2xCyx2Dy2x解析逐个检验可得答案为B答案B2一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是()Ay2tBy120tCy2
