《算子.doc-Microsoft-Word-97---2003-Document教学教材》由会员分享，可在线阅读，更多相关《算子.doc-Microsoft-Word-97---2003-Document教学教材（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 算子和 算子3.1 算子 为方便计，我们引入倒三角形算子 ， 它也称为哈密顿（Hamilton）算子，“ ”读作那布拉，只是一个运算符号（即是一个微分子运算符号，又是一个矢量运算符号），当数量函数或矢量函数从右方“乘”（数乘、点乘、叉乘） 时，就有完全确定的意义，即规定：这样，梯度、散度、旋度就可以分别简记为， ， 算子有好多条运算规则，利用这些规则来推导有关梯度、散度、旋度的恒等式是比较方便的，关于这方面的基本内容可参看本章第四节. 将 作用到数量函数和矢量函数，其运算仅包含一阶微分运算，因而 是一阶微分算子.下面我们对数量函数和矢量函数两次使用算子 . 对函数两次使用算子 只有以下
2、五处情况：1o 2o 3o 4o 5o 其中2o和4o可以验证=0， =0.特别重要的是1o，我们有第四节 算子的运算在讨论梯度、散度、旋度时，我们引进了算子 而 ， ， 在前面一些章节和习题中我们证明了不少有关梯度、散度、旋度的恒等式.例如：（1）div ，（2）rot , 等， 这些等式我们都是利用梯度、散度、旋度的表达方式进行计算而得到的，计算常较复杂，所得的结果也难于记忆，现在我们归结出几条 算子的运算法则，以供参考. 注意到 是一个符号矢量，又是一个微分算子，这就决定了 在运算中的二重性，既要当做一个矢量来进行矢量运算，又要进行微分运算.1、加法规则， ，（其中 、 是常量）.2、乘
3、法规则， ， ,， . 这里记号“ ”表示 中的微分运算只作用在 上，同样规定记号 ， 的意义，例如3、 的作用方式 一定要作用在一人数量函数或矢量函数时才有实际意义，其作用方式有三种： ，读作“ 乘 ”， ，读作“ 点乘 ”， ，读作“ 叉乘 ”注意到“ ”的后面必需是数量函数，而“ ”“ ”后面必需矢量函数才有意义.不然，如 ， 或 是没有意义的.实际上，加法规则中的三个等式，我们在习题中利用梯度、旋度、散度的表达式已证明过，对于乘法规则中的几个等式，在这里只证明其中的一个，其他的读者可自行证明之.现在来证明 证明 可以看到，加法规则和乘法规则与导数的运算法则相似.在 的运算中时常要用到下
4、列公式：， (3.1), (3.2) (3.3)这里举一个例子说明这些公式的用法. 例1 写出 的表达式.可利用公式（7.1），注意到这公式右方第一项还可写成：, , ,但将这公式用到 上情况就不一样了，将所有可能采取的各种次序写在下面： ， ， ， ，由于在 中， 要受到前面两个 的作用，因此只能写成 .对公式右边第二项情况也是类似的.于是有， 即 另外为了方便起见, 我们定义算子：，并规定 由定义知， 和 的意义是完全不相同的. 例2 上述式子中，例如“ ”，因 只作用在 上， 看成常矢量而可提到 的前面来，又如“ ”因 只作用在 上就不必写成 了，记成 即可. 例3 求 ， ，并验证：，
5、 解 将公式（7.1）用到 上，在这里 只作用在 上，对 不起作用，因而得到的等式右方一项为 ，而第二项为 ，即有 （*）同理而 （*）由（*）及（*）两式即有 例4 验证 ，其中a是常矢量， 证明 由斯托克斯公式 在其中取 ，即有 而 ,故有 ， 例5 验证， （3.4） (3.5) 证明 由高斯公式 ，在其中取 ，即有 ， . 同理有 (3.4)减去(3.6)即得(3.5)式.(3.4)，(3.5)两式分别称为第一，第二格林公式，在数学物理方程中要用到.现在将常用的一些公式写在下面以备查用（有些没有证明过的留待读者在习题中加以证明）., ， ， ， ， ， ，, , .高斯公式 .斯托克斯公式 .格林公式 .其中 ，格林公式中的 是 平面上的封闭曲线.版 权 所 有，侵 权 必 究 联 系Q Q68843242 本页为自动生成页，如不需要请删除！谢谢！如有侵权，请联系68843242删除！1，侵权必究 联系QQ68843242 1，版 权 所 有，侵 权 必 究 联 系Q Q68843242 本页为自动生成页，如不需要请删除！谢谢！如有侵权，请联系68843242删除！版 权 所 有，侵 权 必 究 联 系Q Q68843242 本页为自动生成页，如不需要请删除！谢谢！如有侵权，请联系68843242删除！侵权必究 联系QQ68843242 1
