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1、3.1.2用二分法求方程的近似解学习目标1.能用二分法求出方程的近似解.2.了解二分法求方程近似解预习教材P89P90，完成下面问题：知识点1二分法的定义(1)满足的条件：在区间a，b上连续不断的函数yf(x)且在区间端点的函数值满足：f(a)f(b)0.(2)操作过程：把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值【预习评价】二分法求函数的零点的近似值适合于()A零点两侧函数值异号B零点两侧函数值同号C都适合D都不适合解析由函数零点的存在性定理可知选A答案A知识点2二分法求函数零点近似值的步骤【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)二分法所
2、求出的方程的解都是近似解()(2)函数f(x)|x|可以用二分法求零点()(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内()提示(1)如果函数x20用二分法求出的解就是精确解(2)对于函数f(x)|x|，不存在区间(a，b)，使f(a)f(b)0，所以不能用二分法求其零点(3)函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内题型一二分法概念的理解【例1】(1)下列函数中，不能用二分法求零点的是()(2)用二分法求方程2x3x70在区间(1,3)内的根，取区间的中点为x02，那么下一个有根的区间是_解析(1)观察图象与x轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值
3、符号相异，则可用二分法求零点，故B不能用二分法求零点(2)设f(x)2x3x7，f(1)2370，f(2)30，f(x)零点所在的区间为(1,2)，方程2x3x70有根的区间是(1,2)答案(1)B(2)(1,2)规律方法运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断(2)在该零点左右函数值异号只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点【训练1】已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A4,4B3,4C5,4D4,3解析图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.答案D题型二用
4、二分法求函数的零点【例2】用二分法求函数f(x)x3x1在区间1,1.5内的一个零点(精确度0.01)解经计算，f(1)0，所以函数在1,1.5内存在零点x0.取区间(1,1.5)的中点x11.25，经计算f(1.25)0，因为f(1.25)f(1.5)0，所以x0(1.25,1.5)如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：(a，b)(a，b)的中点中点函数值符号(1,1.5)1.25f(1.25)0(1.25,1.375)1.312 5f(1.312 5)0(1.312 5,1.343 75)1.328 125f(1.328 125)0(1.312 5,1.328 125)1.3
5、20 312 5f(1.320 312 5)0因为|1.328 1251.320 312 5|0.007 812 50.01，所以函数f(x)x3x1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328 125.规律方法用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图象估计零点所在的初始区间m，n(一般采用估计值的方法完成)(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是m，c还是c，n，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值【训练2】证明函数f(x)2x3x6在区间(1,2)内有唯一一个零点，并求出这个零点(精确度0.1)解设函数f(
6、x)2x3x6.f(1)10.又f(x)是增函数，函数f(x)2x3x6在区间(1,2)内有唯一的零点，则方程63x2x在区间(1,2)上有唯一一个实数解，设该解为x0，则x0(1,2)，取x11.5，f(1.5)1.330，f(1)f(1.5)0，f(1)f(1.25)0，x0(1,1.25)取x31.125，f(1.125)0.440，f(1.125)f(1.25)0，x0(1.125,1.25)取x41.187 5，f(1.187 5)0.160，f(1.187 5)f(1.25)0，x0(1.187 5,1.25)|1.251.187 5|0.062 50.1，可取x01.25，则方程
7、的一个实数解可取x01.25.题型三用二分法求方程的近似解【例3】用二分法求方程2x33x30的一个正实数近似解(精确度0.1)解令f(x)2x33x3，经计算，f(0)30，f(1)20，f(0)f(1)0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x33x3在(0,1)内有解取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，又f(1)0，所以方程2x33x30在(0.5,1)内有解如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：(a，b)中点cf(a)f(b)f()(0,1)0.5f(0)0f(1)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(1)0f(0.75)0(0.5
8、,0.75)0.625f(0.5)0f(0.75)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)0f(0.75)0f(0.687 5)0由于|0.687 50.75|0.062 50.1，所以方程2x33x30的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.规律方法用二分法求方程的近似解的思路和方法(1)思路：求方程f(x)0的近似解，可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解(2)方法：对于求形如f(x)g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求函数F(x)f(x)g(x)的零点的近似值，然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解【训练3】求方程x22x
9、1的一个近似解(精确度0.1)解设f(x)x22x1.因为f(2)10，所以可以确定区间(2,3)作为计算的初始区间用二分法逐步计算，列表如下：端点(中点)端点或中点的函数值取值区间f(2)1，f(3)2(2,3)x12.5f(2.5)0.250(2,2.5)x22.25f(2.25)0.437 50(2.25,2.5)x32.375f(2.375)0(2.375,2.437 5)由上表的计算可知，|2.3752.437 5|0.062 50.1.因此可以选取区间(2.375,2.437 5)的任意一个数，例如取2.4作为函数的一个零点，从而方程x22x1的一个近似解为2.4.课堂达标1下列函
10、数中能用二分法求零点的是()解析在A和D中，函数虽有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法求零点在B中，函数无零点在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，所以C中的函数能用二分法求其零点答案C2用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)0，f(0.68)0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为()A0.9B0.7C0.5D0.4解析由题意可知函数的零点在(0.68,0.72)内，四个选项中只有0.7，满足|0.70.68|0.1，故选B答案B3用二分法求关于x的方程ln x2x60的近似解时，能确定为解所在的初始区间的
11、是()A(2,3)B(0,2)C(1,2)D(0，)解析令函数f(x)ln x2x6，可判断在(0，)上单调递增，f(1)4，f(2)ln 220，根据函数的零点判断方法可得：零点在(2,3)内，方程ln x2x60的近似解在(2,3)内故选A答案A4某方程有一无理根在区间D(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，将D等分_次后，所得近似值可精确到0.1.解析由10，n14，即n5.答案55判定方程3xx20在区间1,2内是否有实数解，若有，求出精确度为0.01的近似解；若没有，请说明理由解方程3xx20在区间1,2内没有实数解，下面说明理由设f(x)3xx2，则f(1)20，f(2)50，又根据函数y3x，yx2增长速度可知，当x1,2时，3xx20恒成立，故不存在x1,2，使3xx20.即方程3xx20在区间1,2内没有实数解课堂小结1二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点2并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(1)在区间a，b上连续不断；(2)f(a)f(b)0.上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值6
