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1、习题课线性规划问题的几个重要题型学习目标1.加深对二元一次不等式组及其几何意义的了解.2.能熟练的用平面区域表示二元一次不等式组.3.准确利用线性规划知识求解目标函数的最值.4.会求一些简单的非线性函数的最值预习导引1二元一次不等式的几何意义对于任意的二元一次不等式AxByC0(或0时，(1)AxByC0表示直线AxByC0上方的区域；(2)AxByC0表示直线AxByC0下方的区域2用图解法解线性规划问题的步骤：(1)确定线性约束条件；(2)确定线性目标函数；(3)画出可行域；(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解3在线性规划的实际问题中的题型主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力
2、资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小.要点一二元一次不等式表示的平面区域例1画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x，y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解(1)不等式xy50表示直线xy50上及右下方的点的集合xy0表示直线xy0上及右上方的点的集合，x3表示直线x3上及左方的点的集合所以，不等式组表示的平面区域如图所示结合图中可行域得x，3，y3,8(2)由图形及不等式组知当x3时，3y8，有12个整点；当x2时，2y7，有10个整点；当x1时，1y6，有8个整点；
3、当x0时，0y5，有6个整点；当x1时，1y4，有4个整点；当x2时，2y3，有2个整点；平面区域内的整点共有2468101242(个)跟踪演练1在平面直角坐标系中，有两个区域M、N，M是由三个不等式y0，yx和y2x确定的；N是随t变化的区域，它由不等式txt1 (0t1)所确定设M、N的公共部分的面积为f(t)，则f(t)等于()A2t22t B.(t2)2C1t2 Dt2t答案D解析作出由不等式组的平面区域M，即AOE表示的平面区域，当t0时，f(0)11，当t1时，f(1)11，当0t1时，如图所示，所求面积为f(t)SAOESOBCSFDE21t22(t1)2t2t，即f(t)t2t
4、，此时f(0)，f(1)，综上可知选D.要点二生活实际中的线性规划问题例2医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？解将已知数据列成下表：原料/10 g蛋白质/单位铁质/单位售价(元)甲5103乙742设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z元，那么目标函数为z3x2y，作出可行域如图所示：把z3x2y变形为yx，得到斜率为，在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线
5、由图可知，当直线yx经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小由得A(，3)，zmin32314.4(元)甲种原料1028(g)，乙种原料31030(g)，费用最省规律方法在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解最优整数解有时并非只有一个，很可能是许多个，应具体情况具体分析跟踪演练2某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，
6、乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品_吨，乙产品_吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大答案2024解析设每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，总利润为S万元，依题意约束条件为目标函数为z7x12y.可行域如图所示，从图中可以看出，当直线z7x12y经过点A时，直线的纵截距最大，所以z也取最大值解方程组，得A(20,24)，故当x20，y24时，zmax7201224428(万元)要点三数形结合思想的应用例3变量x、y满足(1)设z4x3y，求z的最大值；(2)设z，求z的最小值；(3)设zx2y2，求z的取值
7、范围解由约束条件作出(x，y)的可行域如图所示由，解得A(1，)由，解得C(1,1)由，解得B(5,2)(1)由z4x3y，得yx.当直线yx过点B时，最小，z最大zmax453214.(2)z，z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率观察图形可知zminkOB.(3)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|，dmax|OB|.2z29.跟踪演练3已知实数x、y满足2xy1，求ux2y24x2y的最小值解作可行域如图所示，变形u(x2)2(y1)25，转化成两点距离平方求解u(x2)2(y1)25，转化成两点距离平方求解u
8、(x2)2(y1)25表示点P(x，y)与定点(2,1)的距离的平方再减去5，由约束条件2xy1知，点P(x，y)在直线l：2xy1上及右上方区域G中，于是问题转化为求定点A(2,1)到区域G的最近距离由图可知，点A到直线l的距离为A到区域G中点的距离的最小值，即dmin，d.故umind255.1某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有()A5种B6种C7种D8种答案C解析设购买软件x片，磁盘y盒则画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(
9、3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点2已知点P(x，y)的坐标满足条件则x2y2的最大值为()A. B8 C16 D10答案D解析画出不等式组对应的可行域如图所示：易得A(1,1)，|OA|，B(2,2)，|OB|2，C(1,3)，|OC|.(x2y2)max|OC|2()210.3若x、y满足则z的最大值是_答案3解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)z可看作可行域上的点(x，y)与定点B(1,1)连线的斜率由图可知z的最大值为kAB3.4已知实数x，y满足则zx2y2的最小值为_答案解析实数x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方，故zmin2.1画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范2在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析7
