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1、第三讲 圆锥曲线性质的探讨对应学生用书P371正射影的概念给定一个平面，从一点A作平面的垂线，垂足为点A，称点A为点A在平面上的正射影一个图形上点A所组成的图形，称为这个图形在平面上的正射影2平行射影设直线l与平面相交，称直线l的方向为投影方向，过点A作平行于l的直线(称为投影线)必交于一点A，称点A为A沿l的方向在平面上的平行射影一个图形上各点在平面上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影3正射影与平行射影的联系与区别正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行的因此，正射影也是平行射影，不同的是正射影的光线与投影面垂直而平行射影的投影光线与投影面斜交平面图形的正射影与原投影面积大小
2、相等而一般平行射影的面积要小于原投影图形的面积4两个定理(1)定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆(2)定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交于O点，夹角为，l围绕l旋转得到以O为顶点，l为母线的圆锥面，任取平面，若它与轴l的交角为(当与l平行时，记0)，则，平面与圆锥的交线为椭圆，平面与圆锥的交线为抛物线AB，ACAC，AB2AC2AB2AC2BC2.cos BAC时，平面与圆锥的交线为椭圆思路点拨本题直接证明，难度较大，故可仿照定理1的方法证明，即Dandelin双球法证明如图，在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切当时，由上
3、面的讨论可知，平面与圆锥的交线是一个封闭曲线设两个球与平面的切点分别为F1、F2，与圆锥相切于圆S1、S2.在截面的曲线上任取一点P，连接PF1、PF2.过P作母线交S1于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因此PF1PQ1.同理，PF2PQ2.所以PF1PF2PQ1PQ2Q1Q2.由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆S1、S2所在平行平面间的母线段的长度而与P的位置无关，由此我们可知在时，平面与圆锥的交线为一个椭圆由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓展为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采用Dan
4、delin双球法，这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使问题得到解决6圆锥的顶角为50，圆锥的截面与轴线所成的角为30，则截线是()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析：由25，30，截线是椭圆答案：B7如图，已知平面与圆锥的轴的夹角为，圆锥母线与轴的夹角为，求证：平面与圆锥的交线为抛物线证明：当时，平面与圆锥的一部分相交，且曲线不闭合在圆锥内嵌入一个Dandelin球与圆锥交线为圆S.记圆S所在平面为，与的交线记为m.球切于F1点在截口上任取一点P，过P作PAm于A，过P作PB平面于B，过P作圆锥的母线交平面于C，连接AB，PF1，BC.由切线长定理，PF1PC.PB平行于圆锥的轴，
5、APB，BPC.在RtABP中，PA，在RtBCP中，PC.，PCPA.PF1PA，即截口上任一点到定点F和到定直线m的距离相等截口曲线为抛物线对应学生用书P39一、选择题1一条直线在一个面上的平行投影是()A一条直线B一个点C一条直线或一个点 D不能确定解析：当直线与面垂直时，平行投影可能是点答案：C2ABC的一边在平面内，一顶点在平面外，则ABC在面内的射影是()A三角形 B一直线C三角形或一直线 D以上均不正确解析：当ABC所在平面平行于投影线时，射影是一线段，不平行时，射影是三角形答案：D3下列说法不正确的是()A圆柱面的母线与轴线平行B圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面C圆柱面
6、与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关D平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径解析：显然A正确，由于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，B正确，C显然正确，D中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确答案：D4设圆锥的顶角(圆锥轴截面上两条母线的夹角)为120，当圆锥的截面与轴成45角时，则截得二次曲线的离心率为()A. B.C1 D.解析：由题意知60，45，满足，这时截圆锥得的交线是双曲线，其离心率为e.答案：B二、填空题5用平面截球面和圆柱面所得到的截线形状分别是_、_.解析：联想立体图形及课本方法，可得结论要注意平面截圆柱面所得的截线的不同情况
7、答案：圆圆或椭圆6有下列说法矩形的平行射影一定是矩形；梯形的平行射影一定是梯形；平行四边形的平行射影可能是正方形；正方形的平行射影一定是菱形；其中正确命题有_(填上所有正确说法的序号)解析：利用平行射影的概念和性质进行判断答案：7在底面半径为6的圆柱内有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13.若作一个平面与这两个球面相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为_解析：如图，为圆柱的轴截面，AB为与两球O1和球O2都相切的平面与轴截面的交线，由对称性知AB过圆柱的几何中心O.由O1OOD，O1COA，故OO1CAOD，且O1COD6，所以RtOO1CRtAOD，则AOO1O.故AB2AO2O
8、1OO1O213.显然AB即为椭圆的长轴，所以AB13.答案：13三、解答题8ABC是边长为2的正三角形，BC平面，A、B、C在的同侧，它们在内的射影分别为A、B、C，若ABC为直角三角形，BC与间的距离为5，求A到的距离解：由条件可知ABAC，BAC90.设AAx，在直角梯形AACC中，AC24(5x)2，由AB2AC2BC2，得24(x5)24，x5.即A到的距离为5.9若圆柱的一正截面的截线为以3为半径的圆，圆柱的斜截面与轴线成60，求截线椭圆的两个焦点间的距离解：设椭圆长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则b3，a326，c2a2b2623327.两焦点间距离2c26.10.如图所示，圆锥侧面展开图扇形的中心角为，AB、CD是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么圆锥曲线？解：设O的半径为R，母线VAl，则侧面展开图的中心角为，圆锥的半顶角.连接OE，O、E分别是AB、VB的中点，OEVA，VOEAVO.又ABCD，VOCD，CD平面VAB.平面CDE平面VAB.即平面VAB为截面CDE的轴面，VOE为截面与轴线所夹的角，即为.又圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，故截面CDE与圆锥的截线为一抛物线模块综合检测对应学生用书P45 (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共1
