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1、新余四中2020届高三上学期第三次段考理科数学试卷考试时间：120分钟 试卷总分：150分第卷(选择题：共50分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则集合且为( )A. B. C. D.2.已知为虚数单位,为复数的共轭复数,若,则( )A. B. C. D.3.已知,则( )A. B. C. D.4.设正项等比数列的前项和为,且,若,则( )A. B. C.或 D.5.给出下列四个命题：“若为的极值点，则”的逆命题为真命题；“平面向量,的夹角是钝角”的充分不必要条件是；若命题,则；命题“,使得”的否定是：“均有
2、”.其中不正确的个数是( )A. B. C. D.6.已知函数的一条对称轴为直线，则要得到函数的图象,只需将函数的图象( )A.沿轴向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍B.沿轴向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍C.沿轴向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍D.沿轴向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍7.已知为锐角,则( )A. B. C. D.8.已知数列为等差数列,且满足,若,点为直线外一点,则( )A. B. C. D. 9.已知中,是的重心,则( )A. B. C. D.10.在中,角的对边分别为,若,则面积的最大值为( )A. B. C. D.11.已知,若的任何一条对称轴与轴交点的横
3、坐标都不属于区间,则的取值范围是( )A. B. C. D.12.已知函数,若对恒成立,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.第卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请将答案填在答题卡的相应位置.13.已知,向量在方向上的投影为,则 . 14.已知的展开式的常数项为,则 .15.若函数在区间上有极值点,则实数的取值范围为 .16.已知数列的前项和为,且,则满足的的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知向量,函数.(1)若,求的最小值；(2)若,求的值.18.(本小
4、题满分12分)已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1)求数列的通项；(2)若,求证：19.(本题满分12分)已知数列的前项和为,对任意的正整数,都有成立.(1)求证：存在实数使得数列为等比数列；(2)求数列的前项和.20.(本小题满分12分)某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名,以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶)：若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.(1)从这16人中随机选取3人,记表示抽到“极幸福”的人数,求的分布列及数学期望,并求出至多有1人是“极幸福”的概率；(2)以这16人的样本
5、数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“极幸福”的人数,求的数学期望.21.(本小题满分12分)已知函数,(且为常数)(1)若曲线在处的切线过点,求实数的值；(2)判断函数在上的零点个数,并说明理由22.（本小题满分12分）已知函数(为常数).(1)讨论函数的单调区间；(2)当时,设的两个极值点,()恰为的零点,求的最小值.新余四中2020届高三上学期第三次段考理科数学试卷参考答案一、选择题（125分=60分）：1-5：DBCAC； 6-10：BADBC； 11-12：AB.二、填空题（45分=20分）：13.； 14.； 15.； 16.三、解答题（512分
6、10分=70分）：17.解(1),3分,即时,.6分(2),即,得.,.9分.12分18.解(1)令，得，.又,.-得:,.,.5分(2)当时,符合题意. 6分当时，因为,8分所以,.12分19.解(1)当时,可得.2分由得,两式相减得,即,4分所以,而,所以数列是首项为3,公比为3的等比数列,所以存在实数,使得数列为等比数列.6分(2)由(1)得,即,所以,8分令,则,两式相减得,所以.12分20.解(1)的可能取值为,且,2分的分布列为1数学期望,4分至多有1人是“极幸福”记为事件,则.6分(2)解法一：的可能取值为0,1,2,3,随机选取1人是“极幸福”的概率为.；.的分布列为1数学期望
7、.12分解法二：依题意知，随机选取1人是“极幸福”的概率为,故随机变量满足二项分布,故数学期望.21.解(1)=，2分又曲线在处的切线过点,得, 即,解得.4分(2)由得,即,令,则.由,得,故在上递增,在上递减,.9分再令,因为,所以函数在上递增,故，所以函数在上没有零点,即零点个数为0.12分22.解(1), 1分当时,由,解得,即当时,递增；由解得,即当时,递减；3分当时,即在上递增；4分当时,故,即在上递增综上，当时,的递增区间为,递减区间为；当时,的单调递增区间为.5分(2)由得,由题意知有两个互异实根,且，,因为,()是的两个零点,故,.由得：,解得,7分因为,得,将代入得,8分所以,设,因为,所以,所以,所以,即.10分令,得,则在上是增函数,所以,即的最小值为.12分
