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1、江西省抚州市临川第一中学等2020届高三数学上学期第一次联考试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（ ）A. -2B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据共轭复数的性质可知，直接利用复数模的性质即可求解.【详解】因为所以，故选C.【点睛】本题主要考查了复数模的性质，共轭复数的性质，属于中档题.2.设集合，若，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】集合的交集运算即求两个集合的公共元素，说明集合没有公共元素，借助于数轴列式计算【详解】因为，所以，解得或.【点睛】本
2、题考查集合的交集运算，考查运算求解能力与推理论证能力.3.设，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分、必要条件的定义即可判断。【详解】，因为，可推出；时，若，则无法推出，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A。【点睛】本题主要考查分、必要条件的定义的应用。4.若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】函数的图象上存在与直线垂直的切线,即有解，转化为有解即可求出.【详解】因为函数的图象上存在与直线垂直的切线，所以函数的图象上存在斜率为2
3、的切线，故有解，所以有解，因为的值域为所以.【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，方程有根的问题，转化思想，属于中档题.5.若，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质结合特殊值可得正确答案.【详解】A选项，取，不等式不成立；B选项，故B正确；C选项，取，不等式不成立，D选项，当， ，当且，所以，而，所以不等式不成立.【点睛】本题主要考查了指数、对数函数性质，以及与不等式的交汇，属于中档题.6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，
4、那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】要求的值，需将角用已知角表示出来，从而考虑用三角恒等变换公式解题已知角有，正五边形内角，已知三角函数值有，所以，从而【详解】由题可知，且，则.【点睛】本题考查三角恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力.7.若函数，在上的最大值为4，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答
5、案】C【解析】【分析】利用分段函数的单调性，结合已知条件求解即可.【详解】因为函数，时，函数为增函数，时，函数为增函数，且所以.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最值求法，属于中档题.8.将编号为1,2,3,4,5,6六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是()A. 40B. 60C. 80D. 100【答案】A【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有 种，由排列组合的知识可得，不同的放法总数是： 种.本题选择A选项.9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则
6、判断框内的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】依次运行程序框图中的程序可得：第一次，满足条件，继续运行；第二次，满足条件，继续运行；第三次，满足条件，继续运行；第四次，满足条件，继续运行；第五次，满足条件，继续运行；第六次，不满足条件，停止运行，输出7故判断框内的取值范围为选A10.已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆短轴的一个端点，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】用表示出，解出不等式得出的范围.【详解】由椭圆定义可知：，则，所以，因为，即，即.【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，平面向量的数量积运算，属于中档题.11.设曲线
7、与轴、轴、直线围成的封闭图形的面积为，若在上的单调递减，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由定积分可以求出b, 在上单调递减可转化为在上恒成立即可求解.【详解】由题意，所以，因为在上的单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，只需，解得.【点睛】本题主要考查了利用定积分求面积，函数的单调性与导数的关系，不等式的恒成立问题，属于中档题.12.设数列前n项和为，且满足，用表示不超过x的最大整数，设，数列的前2n项和为，则使成立的最小正整数n是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】利用求得数列通项公式以及前项和，利用二项式展开式化简，求得
8、，利用分组求和法求得数列的前2n项和，由此求得使成立的最小正整数的值.【详解】令，得，又，解得，又，所以，又，可求得，.所以，即，所以，即，所以，因此，当时，；当时，.使成立的最小正整数n是6.故选B.【点睛】本题考查等比数列通项公式及前项和公式，考查分组求和法，考查推理论证能力和创新意识，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.展开式中的常数项为_.【答案】【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可求出.【详解】因为，令，解得，所以展开式中常数项为.【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式，属于中档题.14.设是公差不为0的等差数列的
9、前项和，且，则_.【答案】【解析】【分析】由可得，利用前n项和公式及通项公式即可求解.【详解】因为，所以，所以.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式与前n项和公式，属于中档题.15.如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且，则异面直线与所成角的正切值是_.【答案】【解析】【分析】根据三视图画出空间图形的直观图，取AD中点E，连接BE，PE，CE，将CD平移到BE，根据异面直线所成角的定义可知为异面直线PB与CD所成角，在直角三角形中，求出其正切值即可.【详解】作出直观图如图：取AD中点E，连接BE，PE，CE，因为CD
10、BE，根据异面直线所成角的定义可知为异面直线PB与CD所成角，由条件知，.【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，空间图形的三视图，考查了空间想象能力、运算能力，属于中档题.16.已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线左支上的一点，若直线与直线平行且的周长为，则双曲线的离心率为_.【答案】2【解析】【分析】根据双曲线的定义及三角形的周长可求出，利用直线与直线平行知，结合余弦定理即可求解.【详解】由双曲线定义知，又解得，因为直线与直线平行，所以，故，由余弦定理得：即，化简得，解得或（舍去）.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，余弦定理，双曲线的离心率，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出
11、文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.的内角、所对的边长分别为、，已知.（1）求的值；（2）若，点在线段上，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理将条件统一为三角函数，化简即可求解（2），两边平方可转化为关于的方程，求解代入三角形面积公式即可.【详解】（1），由正弦定理得：，即，即，在中，所以.（2），两边平方得：，由，得，可得，解得：或（舍），所以的面积.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，向量数量积的性质，三角形面积公式，属于中档题.18.如图
12、，在三棱锥中，平面平面，分别为线段上点，且，.（1）求证：平面；（2）若与平面所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角.【答案】(1)证明见解析；(2)30.【解析】试题分析：（1）由条件可得为直角三角形，且故由余弦定理可得，所以，从而，又由条件可得，故平面（2）由两两互相垂直可建立空间直角坐标系，结合条件可求得平面的法向量和平面的法向量，根据两法向量夹角的余弦值可得锐二面角的大小试题解析：（1）证明：连，由题意知 在中，由余弦定理得,又因为，又，又，平面（2）由（1）知两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，由与平面所成的角为，知，则因为由（1）知 平面， 平面为平面的一个法向量.设平面的
13、法向量为，则 ，令，则，为平面的一个法向量.故平面与平面的锐二面角的余弦值为,所以平面与平面的锐二面角为点睛：（1）在建立空间直角坐标系后求平面的法向量时，首先要判断一下条件中是否有垂直于面的直线若有，则可将直线的方向向量直接作为平面的法向量，以减少运算量（2）求二面角的余弦值时，在求得两平面法向量夹角的余弦值后，要根据图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后再求出二面角的余弦值19.已知椭圆的离心率，一个长轴顶点在直线上，若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为.（1）求该椭圆的方程.（2）若，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（
14、2）的面积为定值1.【解析】【分析】（1）根据离心率及长轴即可写出椭圆标准方程（2）设，当直线的斜率存在时，设其方程为，求，点到直线的距离，写出三角形面积，化简即可求证.【详解】由，又由于，一个长轴顶点在直线上，可得：，.（1）故此椭圆的方程为.（2）设，当直线的斜率存在时，设其方程为，联立椭圆的方程得：，由，可得，则，又点到直线的距离，由于，可得：，故，当直线的斜率不存在时，可算得：，故的面积为定值1.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式，考查了学生的运算能力及推理能力，属于难题.20.抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游景点.每年来抚州参观旅游的人数不胜数.其中，名人园与梦岛被称为抚州的两张名片，为合理配置旅游资源，现对已游览
