《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程学案新人教A版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程学案新人教A版选修2-1（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.1.2求曲线的方程学习目标1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念. 知识点一坐标法的思想思考1怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？答案只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题.思考2依据一个给定的平面图形，选取的坐标系惟一吗？答案不惟一，常以得到的曲线方程最简单为标准.梳理(1)坐标法：借助于坐标系，通过研究方程的性质间接地来研究
2、曲线性质的方法.(2)解析几何研究的主要问题：通过曲线研究方程：根据已知条件，求出表示曲线的方程.通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究曲线的性质.知识点二求曲线的方程的步骤类型一直接法求曲线的方程例1一个动点P到直线x8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍.求动点P的轨迹方程.解设P(x，y)，则|8x|2|PA|.则|8x|2，化简，得3x24y248，故动点P的轨迹方程为3x24y248.引申探究若本例中的直线改为“y8”，求动点P的轨迹方程.解据题设P(x，y)，则P到直线y8的距离d|y8|，又|PA|，故|y8|2，化简，得4x23y216x16y480.故动点P的轨迹方程为4x
3、23y216x16y480.反思与感悟直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键：建立恰当的平面直角坐标系；找出所求动点满足的几何条件.(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明.特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.跟踪训练1已知两点M(1，0)，N(1，0)，且点P使，成公差小于零的等差数列.求点P的轨迹方程.解设点P(x，y)，由M(1，0)，N(1，0)，得(1x，y)，(1x，y)，(2，0).2(x1)，x2y21，2(1x).于是，成公差小于零的等差数列等价于即点
4、P的轨迹方程为x2y23(x0).类型二代入法求解曲线的方程例2动点M在曲线x2y21上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程.解设P(x，y)，M(x0，y0)，因为P为MB的中点，所以即又因为M在曲线x2y21上，所以(2x3)24y21.所以P点的轨迹方程为(2x3)24y21.反思与感悟代入法求解轨迹方程的步骤(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0).(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系(3)代入相关动点的轨迹方程.(4)化简、整理，得所求轨迹方程.跟踪训练2ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条定直线移动，求A
5、BC外心的轨迹方程.解如图所示，以BC所在的定直线为x轴，以过A点与x轴垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则A点的坐标为(0，b).设ABC的外心为M(x，y)，作MNBC于N，则MN是BC的垂直平分线.|BC|2a，|BN|a，|MN|y|.又M是ABC的外心，MM|MA|MB|.而|MA|，|MB|，化简，得所求轨迹方程为x22byb2a20.类型三根据曲线的方程求两曲线的交点例3过点M(1，2)的直线与曲线y(a0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围.解当过M点的直线斜率为零或斜率不存在时，不可能与曲线有两个公共点.设直线方程为y2k(x1)(k0)，联立曲线
6、方程，得消去x，得y2(2k)yka0.当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点.(2k)24ka0.设方程的两根分别为y1，y2，由根与系数的关系，得y1y22k.又y1y2a，k2a，代入0中，得a24a(2a)0，解得0a.又k0，2a0，即a2.a的取值范围是(0，2)(2，).反思与感悟结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.即两曲线C1和C2的方程分别为F(x，y)0和G(x，y)0，则它们的交点坐标由方程组的解来
7、确定.跟踪训练3直线l：yk(x5)(k0)与圆O：x2y216相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程.解设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5，0)，再由OMMP，得|OP|2|OM|2|MP|2，x2y2(x5)2y225，整理得(x)2y2.点M应在圆内，所求的轨迹为圆内的部分.解方程组得两曲线交点的横坐标为x，故所求轨迹方程为(x)2y2(0x).1.曲线y与xy2的交点是()A.(1，1)B.(2，2)C.直角坐标系内的任意一点D.不存在答案D解析联立方程组无解.2.方程x2y21(xy0)表示的曲线是()答案D解析xy0时，y0，曲线应在第四象限；当x0
8、，曲线应在第二象限，且与坐标轴均无交点.3.直线1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是_.答案xy10(x0，x1)解析设直线1与x，y轴交点为A(a，0)，B(0，2a)，A，B中点为M(x，y)，则x，y1，消去a，得xy1.a0，a2，x0，x1.4.已知O的方程是x2y220，O的方程是x2y28x100，由动点P向O和O所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是_.答案x解析设动点P(x，y)，则，化简整理得x.5.M为直线l：2xy30上的一动点，A(4，2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且APPM3，求动点P的轨迹方程.解设点M，P的坐标分别为M(x0，y0)，P(x，y)，由题设及
9、向量共线条件可得所以因为点M(x0，y0)在直线2xy30上，所以230，即8x4y30，从而点P的轨迹方程为8x4y30.求解轨迹方程常用方法(1)直接法：直接根据题目中给定的条件进行确定方程.(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程.(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.(4)参数法：将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，
10、此法称为参数法.(5)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数.40分钟课时作业一、选择题1.下列各组方程中表示相同曲线的是()A.yx，1B.yx，yC.|y|x|，D.|y|x|，y2x2答案D解析A中yx表示一条直线，而1表示直线yx，除去点(0，0)；B中yx表示一条直线，而y表示一条折线；C中|y|x|表示两条直线，而表示一条射线；D中|y|x|和y2x2均表示两条相交直线.故选D.2.如图所示的图象对应的方程是()A.|x|y0B.10C.x|y|0D.10答案C解析据图，当x0，y0时，yx；当x0，y0时，yx，只有选项
11、C符合要求，故选C.3.已知02，点P(cos ，sin )在曲线(x2)2y23上，则的值为()A. B. C.或 D.或答案C解析由(cos 2)2sin23，得cos .又因为02，所以或.4.已知点A(1，0)，B(1，0)，且0，则动点M的轨迹方程是()A.x2y21 B.x2y22C.x2y21(x1) D.x2y22(x)答案A解析设动点M(x，y)，则(1x，y)，(1x，y). 由0，得(1x)(1x)(y)(y)0， 即x2y21.5.过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|等于()A.2 B.8 C.4 D.10答案C解析由已知，得
12、(3，1)，(3，9)，则3(3)(1)(9)0，所以，即ABBC，故过三点A、B、C的圆以AC为直径，得其方程为(x1)2(y2)225，令x0得(y2)224，解得y122，y222，所以|MN|y1y2|4，选C.6.已知两点A(，0)，B(，0)，点P为平面内一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，且22，则动点P的轨迹方程为()A.x2y22 B.y2x22C.x22y21 D.2x2y21答案B解析设动点P的坐标为(x，y)，则点Q的坐标为(0，y)，(x，0)，(x，y)，(x，y)，x22y2.由22，得x22y22x2，所以所求动点P的轨迹方程为y2x22.二、填空题7.已知定
13、点A(0，1)，直线l1：y1，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹E的方程为_.答案x24y解析设动点C(x，y)，根据题意可知，点C到点A的距离与到直线l1：y1的距离相等，所以|y1|，两边平方整理得x24y.8.点A(1，2)在曲线x22xyay50上，则a_.答案5解析由题意可知点(1，2)是方程x22xyay50的一组解，即142a50，解得a5.9.过点P(0，1)的直线与曲线|x|1相交于A，B两点，则线段AB长度的取值范围是_.答案2，4解析曲线|x|1可化为x1，(x1)2(y1)21，或x1，(x1)2(y1)21，图象如图所示，线段AB长度的取值范围是2，4.10.已知点F(1，0)，直线l：x1，P为平面上的一动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且.则动点P的轨迹C的方程是_.答案y24x(x0)解析设点P(x，y)，则Q(1，y). 由
