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1、1 & 2 截面欣赏 直线与球、平面与球的位置关系对应学生用书P331直线与球的位置关系有相离、相切、相交2从球外一点作球的切线，它们的切线长相等，所有的切点组成一个圆3平面与球的位置关系有相离、相切、相交4一个平面与球面相交，所得的交线是一个圆，且圆心与球心的连线垂直于这一平面1用一平面去截正方体时，其截面可能是几边形？提示：三角形(锐角三角形、等腰三角形、等边三角形)四边形(长方形、正方形、梯形)五边形、六边形2直线与球的位置关系的判定与直线与圆的位置关系判定一样吗？提示：一样都是利用点到直线的距离与半径r的关系去判定3平面与球的位置关系如何判定？提示：平面，球O，球心O到的距离为OH，球
2、半径为R.若OHR，则相离；若OHR，则相切；若OHR，则相交对应学生用书P33截面问题例1从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体，如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积(阴影部分)思路点拨本题主要考查截面问题，解题时根据题意画出轴截面可直观求解精解详析轴截面如图所示：被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O1CR，圆锥的截面圆的半径O1D设为x.OAABR，OAB是等腰直角三角形又CDOA，则CDBC，故xl.截面面积SR2l2(R2l2)解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特
3、征，发挥自己的空间想象能力，正确作出几何体的轴截面等，把立体图和截面图对照分析，找出几何体中的数量关系把空间几何问题转化在同一平面内利用平面几何的知识解决，即用空间问题平面化的解题策略1.一长方体木料，沿如图所示平面EFGH截长方体，若ABCD，那么下列四个图形中是截面的是()解析：选A因为AB，MN两条交线所在平面(侧面)互相平行，故AB，MN无公共点；又AB，MN在平面EFGH内，故ABMN.同理易知，ANBM.又ABCD，所以截面必为矩形平面、直线与球的位置关系例2有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比思路点
4、拨本题主要考查平面、直线与球的位置关系的应用解此题时分别作出三种情况的截面图，可求解精解详析设正方体的棱长为a.(1)正方形的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正方形的中心，经过四个切点及球心作截面如图，所以有2r1a，r1，所以S14ra2.(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点， 过球心作正方体的对角面得截面，如图，2r2a，r2a, 所以S24r2a2.(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图，所以有2r3a，r3a，所以S34r3a2.综上可得S1S2S3123.与球有关的截面问题，为了增加图形的直观性，解题时常常画一个截面圆起衬托作用2棱长为2的正四
5、面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是()ABC D解析：选C由题意结合图形分析知：截面过球心，且交AB于E点，则E为AB的中点，即可得ECD为等腰三角形，又CD2，CEDE，可求得SECD.例3如图，球O的半径为2，圆O1是一小圆，O1O，A，B是圆O1上两点若AO1B，则A，B两点间的球面距离为 精解详析如图，OBOA2，O1O，O1A，AB2，OAB为正三角形，AOB.A，B两点间的球面距离为2.答案若一平面与球面相交所得交线是一个圆，且圆心与球心的连线垂直于这一平面，该圆心与球心距离为d，圆半径为r，球半径为R，则d2r2R2
6、.本例条件变为“如图，球O的半径为2，圆O1是一小圆，O1O，A，B是圆O1上两点若A，B两点间的球面距离为”，则AO1B .解析：由A，B间的球面距离为知AOB，所以AOB为等边三角形，AB2；又由球O的半径为2，O1O知O1AO1B，所以AO1B为等腰直角三角形，AO1B.答案：本课时常考查截面问题，是每年命题的热点内容之一属中档题考题印证平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为()AB4C4 D6命题立意本题主要通过截面问题考查球的性质及球的体积公式自主尝试设球的半径为R，由球的截面性质得R，所以球的体积VR34.答案B对应学生用书P35一、选择题1在一个锥
7、体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为13，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为()A1B19C13 D1(31)解析：选D由面积比等于边长比的平方，体积比为边长比的立方可求得D正确2过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60，则该截面的面积是()A B2C3 D2解析：选A设截面的圆心为O，由题意得：OAO60，OA1，S12.3如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为()A4 B3C8 D6解析：选C由题意，设ABa，AA1b，再由BDDC16可得a212.又由BC2C
8、CBC得a2b224，可得a2，b4，V(2)248.4正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，则正方体的过P，Q，R的截面图形是()A矩形 B正五边形C正六边形 D菱形解析：选C如图，利用空间图形的公理作出截面，可知截面为正六边形二、填空题5已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3，则球O的表面积等于 解析：记球O的半径为R，圆M的半径为r，则依题意得r23，R2r22，故R24，球O的表面积等于4R216.答案：166直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若ABACAA12，BAC120，则此球
9、的表面积等于 解析：在ABC中ABAC2，BAC120，可得BC2，由正弦定理，可得ABC外接圆半径r2，设此圆圆心为O，球心为O，在RtOOB中，易得球半径R，故此球的表面积为4R220.答案：207已知点A，B，C在球心为O的球面上，ABC的内角A，B，C所对应的边长分别为a，b，c，且a2b2c2bc，a，球心O到截面ABC的距离为，则该球的表面积为 解析：由a2b2c2bc可得A，再由正弦定理可得球的小圆半径为r1，进而可得球的半径为R，该球的表面积为12.答案：128在的二面角内，放一个半径为5的球切两半平面于A，B两点，那么这两个切点在球面上最短距离是 解析：两切点对球心的张角为，
10、球面距为.答案：三、解答题9已知棱长为a的正方体ABCDABCD中，M，N分别是CD，AD的中点，求证：MNAC是梯形证明：如图，连接AC.M，N分别为CD，AD的中点，MN綊AC.由正方体性质可知AC綊AC，MN綊AC，四边形MNAC是梯形10在北纬45的纬度圈上有A，B两点，它们分别在东经70与东经160的经度圈上，设地球半径为R，求A，B两点间的球面距离解：如图，设北纬45圈的圆心为O1，地球中心为O，则AO1B1607090，OBO145，OBR，O1BO1AR，ABR.连接AO，AB，则AOBOABR，AOB60，2RR.故A，B两点间的球面距离为R.11如图所示，三棱锥VABC中，VA底面ABC，ABC90.(1)求证：V，A，B，C四点在同一球面上(2)过球心作一平面与底面内直线AB垂直求证：此平面截三棱锥所得的截面是矩形证明：(1)取VC的中点M.VA底面ABC，ABC90，BCVB.在RtVBC中，M为斜边VC的中点，MBMCMV.同理，在RtVAC中，MAMVMC.MVMCMAMB，V，A，B，C四点在同一球面上，M是球心(2)取AC，AB，VB的中点分别为N，P，Q，连接NP，PQ，QM，MN.则MNPQ就是垂直于AB的三棱锥VABC的截面，易证PQMN是平行四边形，又VABC，PQVA，NPBC，QPPN，故截面MNPQ是矩形8
