《高中数学第二章圆锥曲线4平面截圆锥面5圆锥曲线的几何性质学案北师大选修4-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章圆锥曲线4平面截圆锥面5圆锥曲线的几何性质学案北师大选修4-1（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4 & 5平面截圆锥面 圆锥曲线的几何性质对应学生用书P391平面截圆锥面(1)当截面与圆锥面的轴l垂直时，所得交线是一个圆(2)任取一平面，它与圆锥面的轴l所成的夹角为(与l平行时，记0)，当(为圆锥母线与轴交角)时，平面截圆锥面所得交线为椭圆；当时，交线为抛物线；当时，交线为双曲线2圆锥曲线的几何性质抛物线、椭圆、双曲线都是平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e(离心率)的动点的轨迹，此时定点称为焦点，定直线称为准线当e1时，轨迹为抛物线；当0e1时，轨迹为双曲线1当平面与圆锥面的轴l所成的夹角为时，其交线应为什么？提示：圆2由圆锥曲线的统一定义可知，椭圆、双曲线的准线有几条？定义
2、e时，定点与定直线有怎样的关系？提示：因为椭圆、双曲线各有两个焦点，故其准线有两条定义e时，定点与定直线是对应的即右焦点应对应右准线、左焦点对应左准线对应学生用书P40圆锥曲线的探讨例1在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交于O点，夹角为，l围绕l旋转得到以O为顶点，l为母线的圆锥面，任取平面，若它与轴l的交角为(当与l平行时，记0)，求证：时，平面与圆锥的交线是抛物线思路点拨本题主要考查平面截圆锥面的曲线的讨论问题解题时，注意利用条件，结合图形利用抛物线的定义求解精解详析如图，设平面与圆锥内切球相切于点F，球与圆锥的交线为S，过该交线的平面为，与相交于直线m.在平面与圆锥的截线上任取一点P，
3、连接PF.过点P作PAm，交m于点A，过点P作的垂线，垂足为B，连接AB，则ABm，PAB是与所成二面角的平面角连接点P与圆锥的顶点，与S相交于点Q，连接BQ，则BPQ，APB.在RtAPB中，PBPAcos .在RtPBQ中，PBPQcos .又PQPF，1，即PFPA，动点P到定点F的距离等于它到定直线m的距离，故当时，平面与圆锥的交线为抛物线已知平面与圆锥面的轴的夹角为，曲线与轴的夹角为，当时，平面与圆锥的交线为抛物线时为椭圆讨论曲线类型时注意结合图形1一圆锥面的母线和轴线成30角，当用一与轴线成60的不过顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线是()A椭圆B双曲线C抛物线 D两条相交直线解
4、析：选A如图可知应为椭圆圆锥曲线的几何性质例2如图，已知圆锥母线与轴的夹角为，平面与轴线夹角为，焦球的半径分别为R，r，且r，求平面与圆锥面交线的焦距F1F2，轴长G1G2.思路点拨本题主要考查圆锥曲线的几何性质由知截线为椭圆通过数形结合转化到相应平面中求解精解详析如图，在RtO1F1O中，OF1.在RtO2F2O中，OF2.F1F2OF1OF2.同理，O1O2.在RtO1O2H中，O1HO1O2cos cos .又O1HA1A2，由切线定理，容易验证G1G2A1A2，G1G2cos .已知圆锥曲线的结构特点，解决有关计算问题，通常利用圆锥曲线结构特点中的数量等式关系，列出方程来解决2已知圆锥
5、母线与轴夹角为60，平面与轴夹角为45，则平面与圆锥交线的离心率是 ，该曲线的形状是 解析：e.e1，曲线为双曲线答案：双曲线圆锥曲线的统一定义例3已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF2FD，则C的离心率为 精解详析法一：如图，|BF|a，作DD1y轴于点D1，则由BF2FD，得，所以|DD1|OF|c，即xD，由椭圆的第二定义得|FD|e()a.又由|BF|2|FD|，得a2ae.法二：设椭圆方程为第一标准形式1，设D(x2，y2)，F分BD所成的比为2，xcx2xcc；ycy2，代入椭圆方程得：1e.答案由圆锥曲线的统一定义可知它沟通了焦半径与e
6、的关系，故涉及焦半径问题可考虑使圆锥曲线的定义进行转化同时注意数形结合思想的应用3点A(x0，y0)在双曲线1的右支上，若点A到右焦点的距离等于2x0，则x0 .解析：由题知a2，b4，则c6，所以右准线为x，由双曲线的第二定义知e，即3，所以2x03x02，故x02.答案：2本课时考点常用客观题的形式考查圆锥曲线的统一定义及几何性质，属中档题考题印证过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|，|AF|BF|，则|AF| .命题立意本题主要考查直线与抛物线的位置关系及抛物线定义的应用自主尝试设过抛物线焦点的直线为yk，联立得整理得k2x2(k22)xk20，设A(x1，y1
7、)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.|AB|x1x211，得k224，代入k2x2(k22)xk20得12x213x30，解之得x1，x2，又|AF|BF|，故|AF|x1.答案：对应学生用书P41一、选择题1椭圆1的右焦点到直线yx的距离为()ABC1 D解析：选B右焦点为(1,0)，距离为.2平面与圆锥的轴线平行，圆锥母线与轴线夹角为60，则平面与圆锥面交线的离心率是()A2 BC D2解析：选Ae2.3平面与圆锥的母线平行，那么它们交线的离心率是()A1 B2C D无法确定解析：选A由定义知交线为抛物线4抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则M的纵坐标是()A BC D0解
8、析：选B设M的纵坐标为y，则y1，y.二、填空题5设圆锥面V是由直线l绕直线l旋转而得，l与l交点为V，l与l的夹角为(090)，不经过圆锥顶点V的平面与圆锥面V相交，设轴l与平面所成的角为，则当 时，平面与圆锥面的交线为圆；当 时，平面与圆锥面的交线为椭圆；当 时，平面与圆锥面的交线为双曲线；当 时，平面与圆锥面的交线为抛物线答案：90900，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是准线上一点，且PF1PF2，|PF1|PF2|4ab，则双曲线的离心率是 解析：PF1PF2，P在以F1F2为直径的圆上点P(x，y)满足解得y2.|PF1|PF2|F1F2|y|，4ab2c，解得e.答案：三、
9、解答题9如图，讨论其中抛物线的准线与离心率解：由抛物线结构特点知，抛物线上的任意一点P到焦点的距离PF1与到平面与的交线m的距离PA相等，e1.抛物线的准线是m，离心率e1.10已知双曲线两顶点间距离为2a，焦距为2c，求两准线间的距离解：如图，l1，l2是双曲线的准线，F1，F2是焦点，A1，A2是顶点，O为中心由离心率定义，A1H1A1F1.又A1F1OF1OA1ca，A1H1.OH1OA1A1H1，a.由对称性，得OH2，H1H2.11如图，一个焦球与圆锥面的交线为圆S，记圆S所在的平面为，设与的交线为m.在椭圆上任取一点P，连接PF1，在中过P作m的垂线，垂足为A，过P作的垂线，垂足为B，连接AB，AB是PA在平面上的射影在RtABP中，APB.(1)求平面与所成二面角的大小；(2)在所截椭圆上任取一点P，求证：为定值解：(1)由已知PB，平面平面m.mPB.又PAm，m面PAB，PAB是与所成二面角的平面角又APB，PAB.(2)证明：由已知PBPF1，sinPABcos 为定值9
