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1、2017-2018学年高中数学第二章推理与证明阶段通关训练新人教A版选修2-2第二章 推理与证明阶段通关训练(60分钟100分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质;由直角三角形,等腰三角形,等边三角形内角和是180归纳出所有三角形的内角和都是180;某次考试张军成绩是100分,由此推出全班同学成绩都是100分;三角形内角和是180,四边形内角和是360,五边形内角和是540,由此得凸多边形内角和是(n-2)180.A.B.C.D.【解析】选C.合情推理包括归纳推理,类比推理,是类比推理,是归纳推理,是归纳推理.2.(2017绵阳高二
2、检测)下列关系式中一定成立的是()A.若a0,b0,则a4+b4a3b+ab3B.+2C.若|a|1,|b|1,则1D.a2+b2+c2ab+bc+ca【解析】选C.对于选项C,1|a+b|1+ab|(a+b)20,而|a|1,|b|0成立,所以0,则+的值()A.一定是正数B.一定是负数C.可能是零D.正、负不能确定【解析】选B.因为a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0.所以a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,所以ab+bc+ca=-(a2+b2+c2)0,所以+=0.4.下列代数式(其中kN*)能被9整除的是()A.6+67kB.2+7k-1C.2(2+7k+1)D.3(2+
3、7k)【解析】选D.特殊值法:当k=1时只有3(2+7k)能被9整除.5.已知f(n)=+,则()A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=+B.f(n)中共有(n+1)项,当n=2时,f(2)=+C.f(n)中共有(n2-n)项,当n=2时,f(2)=+D.f(n)中共有(n2-n+1)项,当n=2时,f(2)=+【解析】选D.项数:看分母,分母有n,n+1,n2,所以项数为n2-n+1,f(2)=+.6.对于等式sin3x=sin2x+sinx,下列说法中正确的是()A.对于任意xR,等式都成立B.对于任意xR,等式都不成立C.存在无穷多个xR使等式成立D.等式只对有限个xR成立【解析
4、】选C.当x=0时,等式显然成立.又x=k(kZ)时等式也恒成立,而x=时等式不成立.二、填空题(每小题5分,共20分)7.(2017杭州高二检测)=2,=3,=4,若=6(a,b均为实数),猜想,a=_,b=_.【解析】由2+,3+,4+,可以求出3=22-1,8=32-1,15=42-1,故在6+中,a=6,b=a2-1=62-1=35.答案:6358.(2017东莞高二检测)当n=1时,有(a-b)(a+b)=a2-b2,当n=2时,有(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3,当n=3时,有(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4,当nN*时,你能得到的结论是_.【解析】根
5、据题意,由于当n=1时,有(a-b)(a+b)=a2-b2,当n=2时,有(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3,当n=3时,有(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4,当nN*时,左边第二个因式可知为an+an-1b+abn-1+bn,那么对应的表达式为(a-b)(an+an-1b+abn-1+bn)=an+1-bn+1.答案:(a-b)(an+an-1b+abn-1+bn)=an+1-bn+1【补偿训练】已知等式cos=,coscos2=,coscos2cos4=,请你写出一个具有一般性的等式,使你写出的等式包含了已知等式(不要求证明),那么这个等式是:_.【解析】该题通过
6、观察前几个特殊式子的特点,通过归纳推理得出一般规律,写出结果即可.答案:coscos2cos(2n-1)=,nN*9.在ABC中,D为BC的中点,则=(+),将上述命题类比到四面体ABCD中,得到一个类似的命题:_.【解析】线段的中点,类比到三角形中为三角形的重心,由此有在四面体ABCD中,G为BCD的重心,则=(+).答案:在四面体A-BCD中,G为BCD的重心,则=(+)10.在等差数列an中,若a10=0,则有等式a1+a2+an=a1+a2+a19-n(n19,且nN*)成立.类比上述性质,相应地,在等比数列bn中,若b9=1,则有等式_成立.【解析】在等差数列中,若m+n=2p,则a
7、m+an=2ap,而在等比数列中,若m+n=2p,则aman=.因为b9=1,所以bn+1b17-n=1.又因为bn+1b17-n=bn+2b17-n-1=1,所以有等式b1b2bn=b1b2b3b17-n,n17,且nN*.答案:b1b2bn=b1b2b3b17-n,n0,y0,用分析法证明:(x2+y2(x3+y3.【证明】要证(x2+y2(x3+y3,只需证(x2+y2)3(x3+y3)2,即证x6+3x4y2+3x2y4+y6x6+2x3y3+y6,即证3x4y2+3y4x22x3y3.又因为x0,y0,所以x2y20,故只需证3x2+3y22xy.而3x2+3y2x2+y22xy成立
8、,所以(x2+y2(x3+y3成立.【补偿训练】已知|x|1,|y|1,用分析法证明:|x+y|1+xy|.【证明】要证|x+y|1+xy|,即证(x+y)2(1+xy)2,即证x2+y21+x2y2,即证(x2-1)(1-y2)0,因为|x|1,|y|1,所以x2-10,1-y20,所以(x2-1)(1-y2)0,不等式得证.13.(13分)(2017临沂高二检测)已知a,b,c(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能都大于.【证明】假设三个式子同时大于,即(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,三式相乘得(1-a)a(1-b)b(1-c)c,又因为0a1,所以0a
9、(1-a)=.同理0b(1-b),00),数列an满足a1=f(x),an+1=f(an).(1)求a2,a3,a4.(2)猜想数列an的通项公式,并用数学归纳法予以证明.【解题指南】由a1=f(x),an+1=f(an),依次令n=1,2,3可求得a2,a3,a4;观察a2,a3,a4的表达式的构成规律可猜想出an的通项公式,用数学归纳法证明时关键是将ak+1变形为与an相同的形式.【解析】(1)由a1=f(x),an+1=f(an)得:a2=f(a1)=,a3=f(a2)=,a4=f(a3)=.(2)猜想数列an的通项公式an=.证明:当n=1时,结论显然成立;假设当n=k(k1,kN*)
10、时结论成立,即ak=,则当n=k+1时,ak+1=f(ak)=.显然,当n=k+1时结论也成立.由可得,数列an的通项公式an=.【能力挑战题】已知函数f(x)=(x-a)2(x-b)(a,bR,ab).(1)当a=1,b=2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程.(2)设x1,x2是f(x)的两个极值点,x3是f(x)的一个零点,且x3x1,x3x2.证明:存在实数x4,使得x1,x2,x3,x4按某种顺序排列后构成等差数列,并求出x4.【解题指南】(1)利用导数的几何意义解题.(2)通过求导,找出函数f(x)的两个极值点,因为f(x)的零点为a或b,所以适当对f(x)零点和极值点排序后,满足等差数列,若解出,则x4存在,否则x4不存在.【解析】(1)当a=1,b=2时,因为f(x)=(x-1)(3x-5),故f(2)=1,又f(2)=0,所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y=x-2.(2)因为f(x)=3(x-a),由于ab,故a,所以f(x)的两个极值点为x=a和x=.不妨设x1=a,x2=,因为x3x1,x3x2,且x3是f(x)的零点,故x3=b,又因为-a=2,故可令x4=,此时a,b依次成等差数列,所以存在实数x4满足题意,且x4=.- 8 - / 8- 8 - / 8
