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1、江西省南昌市2020届高三数学上学期开学考试试题 理（含解析）本试卷共4页，23小题，满分150分.考试时间120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.3.非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12个小题,每小
2、题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据求解分式不等式和二次根式的定义域得集合，再运用集合的补集和交集运算求解.【详解】由已知得，所以，故选B.【点睛】本题考查集合的补集和交集运算，属于基础题.2.复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得复数，即可得到复数的模，得到答案。【详解】由题意，复数，解得，所以，故选D。【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基
3、础题。3.已知平面内一条直线及平面，则“”是“”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理和性质定理，以及充分条件和必要条件的判定方法，即可求解。【详解】由题意，根据直线与平面垂直的判定定理，可得由“”可证得“”，即充分性是成立的；反之由“”不一定得到“”，即必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选B。【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记线面垂直的判定与性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题。4.公比不为的等比数列中，若，则不可能为（ ）A. B
4、. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的性质，得到，且，即可求解，得到答案。【详解】由，根据等比数列的性质，可得，且，所以可能值为或或，所以不可能的是6，故选B。【点睛】本题主要考查了等比数列的性质的应用，其中熟记等比数列的性质是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。5.已知一组样本数据点，用最小二乘法求得其线性回归方程为.若的平均数为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设样本数据的中心为，代入回归直线的方程，求得，进而求得答案。【详解】由题意，设样本数据的中心为，代入回归直线的方程，可得，则，故选B。【点睛】本题主要考查了回归直线方程的
5、应用，其中解答中熟记回归直线方程的基本特征是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。6.在平面直角坐标系中，已知，动点满足，则动点的轨迹方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，然后表示出向量的坐标，代入已知条件，整理后得到动点的轨迹方程.详解】设，因为所以整理得故选A项.【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，属于简单题.7.已知二元一次不等式组表示的平面区域为，命题：点在区域内；命题：点在区域内. 则下列命题中，真命题是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据二元一次不等式组，判定出命题为假命题，为真命题，再根据复合命题的真值表，即可得到
6、判定，得到答案。【详解】由二元一次不等式组，可得点不适合不等式，所以点不在不等式组表示的平面区域内，所以命题为假命题，则为真命题，又由点适合不等式组每个不等式，所以点在不等式组表示的平面区域内，所命题为真命题，由复合命题的真值表可得，命题为真命题，故选C。【点睛】本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域，以及复合命题的真假判定，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。8.已知的垂心为，且是的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将转化为，然后得到，再将和，用来表示，得到答案.【详解】因为为的垂心，所以，而，所以因为是的中点，所以【点睛】本题考查向量的互相表
7、示，向量的数量积，属于简单题.9.圆上有且仅有两点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】双曲线的一条渐近线为，圆，圆心，半径，根据题意，圆心到的距离的范围为，从而得到关系式，利用得到关系，从而得到离心率.【详解】双曲线的一条渐近线为，圆，圆心，半径因为圆上有且仅有两点到的距离为1，所以圆心到的距离的范围为即，而所以，即故选C项.【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离，双曲线的渐近线，求双曲线的离心率，属于中档题.10.已知正实数满足：，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先得到满足 的在，满足的在，
8、再根据与的交点，与的交点，从而得到的大小关系，得到答案.【详解】因为在坐标系里画出与的图像，与的图像可得，再根据与的图像交点得到的位置，根据与的图像交点得到的位置从而得到故，故选B项.【点睛】本题考查通过指数函数与对数函数的图像的交点，判断数值的大小，属于中档题.11.自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制计算机二进制以为基数，只用和两个数表示数，逢进，二进制数同十进制数遵循一样的运算规则，它们可以相互转化，如我国数学史上，对数制研究不乏其人，清代汪莱的参两算经是较早系统论述非十进制数的文献，总结出了八
9、进制乘法口决：，请类比二进制与十进制转化的运算，数对应八进制数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将数转化为十进制，然后再把四个选项里的八进制数都化为十进制，得到答案.【详解】数A. B. C. D. 故选C项.【点睛】本题考查二进制化十进制，八进制化十进制，属于中档题.12.若函数（为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数有两个极值点，得到有两个零点，转化为函数与的图象有2个交点，利用导数求得函数单调性与最值，结合图象，即可求解。【详解】由题意，函数，则，要使得函数有两个极值点，则有两个零点，即方程
10、有2个实数根，即与的图象有2个交点，又由，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，当时，当时， ，所以当是满足函数与的图象有2个交点，即函数有两个极值点，故选A。【点睛】本题主要考查了利用导数求得函数的极值问题，其中熟记函数的导数与函数的单调性与极值之间的关系，以及结合函数点图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题。二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.的展开式中常数项的系数为_【答案】【解析】【详解】，令，得常数项为240，故答案为240.考点：二项式定理.点评：二项展开式通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具；赋值法是求展开式的系数和的重
11、要方法14.已知定义在上的偶函数满足，则等于_【答案】【解析】【分析】由满足，利用函数的奇偶性，求得函数是以2为周期的周期函数，进而可求解的值。【详解】由题意，函数满足，即，又由函数是上的偶函数，所以，即，所以函数是以2为周期的周期函数，则。【点睛】本题主要考查了函数周期性的判定，以及函数的奇偶性的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。15.已知等差数列的前项和为，满足， ，则的值为_【答案】【解析】【分析】将转化为，得到，从而得到公差，根据，得到答案.【详解】设等差数列的公差为，由得所以，即所以所以.【点睛】本题考查等差数列的基本量运算，求等差数量的某一项，属于简单题.16.已知正方体
12、的棱长为，垂直于棱的截面分别与面对角线相交于点，则四棱锥体积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】，由，可得，所以可得为矩形，然后根据平行所成的比例关系，表示出的长，从而表示出底面积，再表示出到平面的距离，从而表示出四棱锥其体积，然后得到最大值.【详解】由题意平面平面则而，所以所以为矩形，易知设相似比为，所以，所以矩形的面积为而到平面的距离所以四棱锥的体积，令得（舍）故，单调递增，单调递减，所以当时取最大值，为.【点睛】本题考查面面平行的性质，棱锥的体积表示，利用导数求最大值，属于中档题.三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答
13、；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知锐角的内角的所对边分别为，其中，.（）若，求角；（）求面积的最大值【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）由，求得，再由正弦定理求得，即可求得角A；（）由余弦定理和基本不等式，求得，再由三角形的面积公式，即可求解。【详解】（）由题意，知，即，故，即，又由正弦定理可得，解得，又因为，所以，所以.（）在中，由余弦定理，得，得，所以，当且仅当时，即三角形为等边三角形时，上式等号成立，所以的面积的最大值为.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定
14、理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。18.已知直三棱柱中，是的中点，是上一点，且.（）证明：平面；（）求二面角余弦值的大小.【答案】（）证明见解析；（）.【解析】【分析】（）在中，由面积相等得到，直角三角形中，得到，由得，易得，从而得到平面.以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出面法向量为，面法向量为，从而得到二面角的余弦值.【详解】连接，在中，故.由于三棱柱是直三棱柱，故平面，直角三角形中，因为，所以所以，又因为直角，即.再由为中点并且为等腰三角形可知，结合，得平面，.综合，得到平面.由于，如图以点为坐标原点建立空间直角坐标系，故，,设面法向量为，面法向量为，取，得，取，得，则二面角的余弦值.【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，通过法向量求二面角的余弦值，属于中档题.19.某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金（奖金额元）、专业二等奖学金（奖金额
