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1、2.2.2 第3课时直线的一般式方程学习目标1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x、y的二元一次方程AxByC0(A、B不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为AxByC0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.知识链接1.过点A(x0，y0)分别垂直于x轴，y轴的直线方程为xx0，yy0.2.直线的点斜式方程：yy0k(xx0).直线的两点式方程：(x1x2，y1y2).预习导引1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.方程AxByC0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式.2.对于直线
2、AxByC0，当B0时，其斜率为，在y轴上的截距为；当B0时，在x轴上的截距为；当AB0时，在两轴上的截距分别为，.3.直线一般式方程的结构特征(1)方程是关于x，y的二元一次方程.(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.(3)x的系数一般不为分数和负数.(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.要点一直线的一般式与其他形式的转化例1(1)下列直线中，斜率为，且不经过第一象限的是()A.3x4y70 B.4x3y70C.4x3y420 D.3x4y420(2)直线x5y90在x轴上的截距等于()A. B.5 C. D.3答案(1)B(
3、2)D解析(1)将一般式化为斜截式，斜率为的有：B、C两项.又yx14过点(0,14)即直线过第一象限，所以只有B项正确.(2)令y0则x3.规律方法(1)一般式化为斜截式的步骤：移项得ByAxC；当B0时，得斜截式：yx.(2)一般式化为截距式的步骤：方法一：把常数项移到方程右边，得AxByC；当C0时，方程两边同除以C，得1；化为截距式：1.方法二：令x0求直线在y轴上的截距b；令y0求直线在x轴上的截距a；代入截距式方程1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式.跟踪演练1已知直线l经过点A(5,6)和点B(4,8)，求
4、直线l的一般式方程和截距式方程，并画出图形.解因为直线l经过点A(5,6)，B(4,8)，所以由两点式，得，整理得2xy160，化为截距式得1，所以直线l的一般式方程为2xy160，截距式方程为1.图形如图所示：要点二直线方程的应用例2已知直线l的方程为3x4y120，求满足下列条件的直线l的方程：(1)过点(1,3)，且与l平行；(2)过点(1,3)，且与l垂直.解方法一l的方程可化为yx3，l的斜率为.(1)l与l平行，l的斜率为.又l过点(1,3)，由点斜式知方程为y3(x1)，即3x4y90.(2)l与l垂直，l的斜率为，又l过点(1,3)，由点斜式可得方程为y3(x1)，即4x3y1
5、30.方法二(1)由l与l平行，可设l的方程为3x4ym0.将点(1,3)代入上式得m9.所求直线的方程为3x4y90.(2)由l与l垂直，可设l的方程为4x3yn0.将(1,3)代入上式得n13.所求直线的方程为4x3y130.规律方法一般地，直线AxByC0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxBym0，与直线AxByC0垂直的直线方程可设为BxAyn0.这是经常采用的解题技巧.跟踪演练2已知A(2,2)和直线l：3x4y200.求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程.解(1)将与直线l平行的方程设为3x4yC10，
6、又过点A(2,2)，所以3242C10，所以C114.所求直线方程为3x4y140.(2)将与l垂直的直线方程设为4x3yC20，又过点A(2,2)，所以4232C20，所以C22，所以直线方程为4x3y20.要点三由含参一般式方程求参数的值或取值范围例3(1)若方程(m25m6)x(m23m)y10表示一条直线，则实数m满足_.答案m3解析若方程不能表示直线，则m25m60且m23m0.解方程组得m3，所以m3时，方程表示一条直线.(2)当实数m为何值时，直线(2m2m3)x(m2m)y4m1.倾斜角为45；在x轴上的截距为1.解因为已知直线的倾斜角为45，所以此直线的斜率是1，所以1，所以
7、解得所以m1.因为已知直线在x轴上的截距为1，令y0得x，所以1，所以解得所以m或m2.规律方法已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤跟踪演练3已知直线l：kxy12k0(kR).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围.(1)证明直线l的方程是k(x2)(1y)0，令解得无论k取何值，直线总经过定点(2,1).(2)解由方程知，当k0时直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，要使直线不经过第四象限，则必须有解之得k0；当k0时，直线为y1，符合题意，故k0.故k的取值范围为k|k0.1.若方程AxByC0表示直线，则A、B应满足的条件为()A.A0
8、 B.B0C.AB0 D.A2B20答案D解析方程AxByC0表示直线的条件为A、B不能同时为0，即A2B20.2.已知ab0，bc0，则直线axbyc通过()A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限答案C解析由axbyc，得yx，ab0，直线在y轴上的截距0.由此可知直线通过第一、三、四象限.3.在直角坐标系中，直线xy30的倾斜角是()A.30 B.60C.150 D.120答案C解析直线斜率k，所以倾斜角为150，故选C.4.已知直线(a2)xay10与直线2x3y50平行，则a的值为()A.6 B.6C. D.答案B解析由(a2)3a20得a
9、6，且当a6时两直线平行，故选B.1.根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1k2且b1b2；若都不存在，则还要判定不重合.(2)可直接采用如下方法：一般地，设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.l1l2A1B2A2B10，且B1C2B2C10，或A1C2A2C10.这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性.2.根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k21.(2)一般地，设l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1A2B1B20.第二种方法可避免讨论，减小失误.6
