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1、第二章 空间向量与立体几何学习目标1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的运算法则及运算律.2.掌握空间向量数量积的运算及其应用，会用数量积解决垂直问题、夹角问题.3.理解空间向量基本定理，掌握空间向量的坐标表示.4.会用基向量法、坐标法表示空间向量.5.会用向量法解决立体几何问题.知识点一空间中点、线、面位置关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为，v，则线线平行lmabakb，kR线面平行l_面面平行v_线线垂直lm_线面垂直laak，kR面面垂直v_线线夹角l，m的夹角为(0)，cos _线面夹角l，的夹角为(0)，sin _面面夹角，的夹角为(0)，cos
2、_知识点二用坐标法解决立体几何问题步骤如下：(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；(3)进行相关坐标的运算；(4)写出几何意义下的结论.关键点如下：(1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程.(2)点的坐标、向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题.(3)几何问题与向量问题的转化.平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键.类型一空间向量及其运算例1如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为
3、1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：0；0；0；0.其中正确结论的序号是_.反思与感悟向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义.跟踪训练1如图，在平行六面体A1B1C1D1ABCD中，M分成的比为，N分成的比为2，设a，b，c，试用a、b、c表示.类型二利用空间向量解决位置关系问题例2在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：(1)PC平面EBD.(2)平面PBC平面PCD.反思与感悟(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量.(2
4、)证明线面平行的方法证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线.利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.(3)证明面面平行的方法转化为线线平行、线面平行处理.证明这两个平面的法向量是共线向量.(4)证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直.(5)证明线面垂直的方法证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量.证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直.(6)证明面面垂直的方法转化为证明线面垂直.证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练2在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点
5、，求证：平面AED平面A1FD1.类型三利用空间向量求角例3如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF与平面所成角的正弦值.反思与感悟用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为090，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解.(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面所成的角，先求这个平面的法向量n与直线a的方向向量a的夹角的余弦cosn，a，再利用公式
6、sin |cosn，a|，求.(3)二面角：如图，有两个平面与，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面与所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角.跟踪训练3如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，ABBEEC2，G，F分别是线段BE，DC的中点. (1)求证：GF平面ADE；(2)求平面AEF与平面BEC所成的锐角的余弦值.1.已知空间四边形ABCD，G是CD的中点，则()等于()A. B. C. D.2.若a(0,1，1)，b(1,1,0)，且(ab)a，则实数的值是()A.1 B.0 C.1 D.23.已知向
7、量a(42m，m1，m1)与b(4,22m,22m)平行，则m_.4.已知平面经过点O(0,0,0)，且e(1,1,1)是的一个法向量，M(x，y，z)是平面内任意一点，则x，y，z满足的关系式是_.5.已知空间三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a，b.求向量a与向量b的夹角的余弦值.解决立体几何中的问题，可用三种方法：几何法、基向量法、坐标法.几何法以逻辑推理作为工具解决问题；基向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题.坐标方法经常与向量运算结合起来使用.提醒：完成作业第二章章末复习课答案精析知识梳理知识点一aa0kv，kRabab0v0
8、题型探究例1跟踪训练1解连接AN，则.由已知ABCD是平行四边形，故ab，又M分成的比为，故(ab).由已知，N分成的比为2，故(c2b).于是(ab)(c2b)(abc).例2证明如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设DCa，PDb，则D(0,0,0)，C(a，0,0)，B(a，a,0)，P(0，0，b)，E(0，).(1)(0，)，(a，a,0).设平面EBD的一个法向量为n(x，y，z)，则即令x1，得n(1，1，)，因为n(a,0，b)(1，1，)0，所以n，故PC平面EBD.(2)由题意得平面PDC的一个法向量为(0，a,0)，
9、又(a，a，b)，(a,0，b).设平面PBC的一个法向量为m(x1，y1，z1)，则即得y10，令x11，则z1，所以m(1,0，)，因为m(0，a,0)(1,0，)0，所以m，即平面PBC平面PCD.跟踪训练2证明如图，建立空间直角坐标系.设正方体棱长为1，则E，D1(0,0,1)，A(1，0,0)，F.(1,0,0)，.设m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量，由得令y11，得m(0,1，2).又由得令z21，得n(0,2,1).mn(0,1，2)(0,2,1)0，mn，故平面AED平面A1FD1.例3解(1)交线围成的正方形EHGF如图所
10、示，(2)作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EMAA18.因为EHGF为正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，所以AH10.以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,8)，(10,0,0)，(0，6，8).设n(x，y，z)是平面EHGF的法向量，则即所以可取n(0,4,3).又(10,4,8)，故|cosn，|.所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为.跟踪训练3方法一(1)证明如图，取AE的中点H，连接HG，HD. 又G是BE的中点，所以GHAB，且GHAB.又F是CD的中点，所以DF
11、CD.由四边形ABCD是矩形，得ABCD，ABCD，所以GHDF，且GHDF，从而四边形HGFD是平行四边形，所以GFDH.又DH平面ADE，GF平面ADE，所以GF平面ADE.(2)解如图，在平面BEC内，过B点作BQEC.因为BECE，所以BQBE.又因为AB平面BEC，所以ABBE，ABBQ.以B为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1).因为AB平面BEC，所以(0,0,2)为平面BEC的法向量.设n(x，y，z)为平面AEF的法向量.又(2,0，2)，(2,2，1)，由得取z2，得n(2
12、，1,2).从而|cosn，|，所以平面AEF与平面BEC所成的锐角的余弦值为.方法二(1)证明如图，取AB中点M，连接MG，MF. 又G是BE的中点，可知GMAE.又AE平面ADE，GM平面ADE，所以GM平面ADE.在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点，得MFAD.又AD平面ADE，MF平面ADE.所以MF平面ADE.又因为GMMFM，GM平面GMF，MF平面GMF，所以平面GMF平面ADE.因为GF平面GMF，所以GF平面ADE.(2)同方法一.当堂训练1.A2.D3.1或34.xyz05.解a(1,1,0)，b(1,0,2)，ab(1,1,0)(1,0,2)1.又|a|，|b|，cosa，b，即向量a与向量b的夹角的余弦值为.10
