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1、第二章 基本初等函数（）学习目标1.构建知识网络，理解其内在的联系.2.盘点重要技能，提炼操作要点.3.体会数学思想，培养严谨灵活的思维能力知识点一映射与函数一般地，设A，B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从集合A到集合B的映射，记作f：AB.由定义可知在A中的任意一个元素在B中都能找到唯一的像，而B中的元素在A中未必有原像若f：AB是从A到B的映射，且B中任一元素在A中有且只有一个原像，则这样的映射叫做从A到B的一一映射函数是一个特殊的映射，其特殊点在于A，B都为非空数集，函数有三要素：定义域、值域、对应法则两个
2、函数只有当定义域和对应法则分别相同时，这两个函数才是同一函数知识点二函数的单调性1函数的单调性主要涉及求函数的单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，利用函数的单调性解不等式等相关问题深刻理解函数单调性的定义是解答此类问题的关键2函数单调性的证明根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明，步骤如下：(1)取值：任取x1，x2D，且x10；(2)作差变形：yy2y1f(x2)f(x1)，向有利于判断差的符号的方向变形；(3)判断符号：确定y的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；(4)下结论：根据定义得出结论3证明函数单调性的等价变形：(1)f(x)是单调递增函数任意x1x2，都有f(x1)
3、0f(x1)f(x2)(x1x2)0；(2)f(x)是单调递减函数任意x1f(x2)0f(x1)f(x2)(x1x2)0时，f(x)2.引申探究证明f(x)为奇函数若已证明f(x)为奇函数，如何解(3)?反思与感悟(1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值(2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意特殊值的应用跟踪训练2函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)1，f(x1)
4、x2，令xyx1，xx2，则f(x1)f(x2)f(x1x2)x1x2，x1x20.又x0时，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)2即f(x)f(x)2f(x)f(3)f(3x)，由(1)知f(x)在R上为单调减函数，f(x)f(3x)x3x，解得解集为x|x引申探究证明令yx，则f(x)f(y)f(x)f(x)f(xx)f(0)再令xy0，有f(0)f(0)f(00)，即2f(0)f(0)，f(0)0.f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，f(x)为奇函数，f(x)f(x)22f(x)2f(x)1.由(2)知f(3)f()f()f()2f()2，f()1.f(x)1f(x)
5、f()，f(x)在R上为单调减函数，解集为x|x跟踪训练2解(1)对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明：令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，f(1)f(1)0.令x11，x2x有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数(3)依题设有f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函数，f(x1)2f(|x1|)f(16)又f(x)在(0，)上是增函数0|x1|16，解之得15x17且x1.x的取值范围是x|15x17且x1例3解(1)函数的定义域为R，关于原点对称，
6、f(x)(x)22|x|x22|x|.则f(x)f(x)，f(x)是偶函数图象关于y轴对称(2)f(x)x22|x|画出图象如图所示，根据图象知，函数f(x)的最小值是1，无最大值单调增区间是1,0，1，)；单调减区间是(，1，0,1跟踪训练3解当x1,0时，x0,1，f(x)x.又f(x)为奇函数，x1,0时，f(x)f(x)x.即x1,1时，f(x)x.又由f(x)f(2x)可得f(x)的图象关于直线x1对称由此可得f(x)在3,5上的图象如下：在同一坐标系内画出y的图象，由图可知在3,5上共有四个交点，f(x)在3,5上共有四个解，从左到右记为x1，x2，x3，x4，则x1与x4，x2与x3关于直线x1对称，1，1.x1x2x3x44.当堂训练1偶0
