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1、2020届苏州市高三数学过关题7平面向量一、填空题【考点一】平面向量的概念及线性运算1在平面直角坐标系中，点则以线段为邻边的平行四边形两条对角线的长分别为 【答案】、解析 由题设知，则，所求的两条对角线的长分别为、22020年第4版必修4教材第72页第10题设点P、Q是线段AB的三等分点，若，= ，= （用表示）【答案】解析因为所以 3在平行四边形中，为一条对角线，则 【答案】.解析. 42020年第4版必修4教材第78页例4已知P是直线上一点，且，则点P的坐标为 【答案】解析设，则由得得到因为所以因此，P点坐标为5中设 的中点为，的中点为，的中点恰为，则= （用表示）【答案】解析,所以【考点
2、二】平面向量的数量积6若是夹角为的单位向量，且，则 【答案】解析 考查向量的概念，向量的加减数乘运算，向量的数量积. 72020重庆卷已知向量若与平行，则实数的值是 【答案】解析解法1 因为，所以由于与平行，得，解得解法2 因为与平行，则存在常数，使，即，根据向量共线的条件知，向量与共线，故82012年第4版必修4教材第87页例4在ABC中，设且ABC是直角三角形，则k的值为 【答案】或或解析若A=90，则，于是，解得若B=90，则，又故得解得若C=90，则，故 解得；所求k的值为或或.9已知向量，若向量满足，则 【答案】 解析 不妨设，则，对于，则有；又，则有，则有，所以10. 2020辽宁
3、卷理平面向量a与b的夹角为， 则 【答案】 解析 由已知|a|2,|a2b|2a24ab4b24421cos60412ABDCP第11题112020江苏卷 如图在平行四边形中，已知，则的值是 【答案】22.解析由题意所以即,解得122020年第4版必修4教材第89页15题设若与的夹角为钝角，则x的取值范围为 【答案】解析因为为钝角，所以则所以【考点三】平面向量的基本定理13设分别是的边上的点,若(为实数)，则的值为 .【答案】解析所以14如图,在ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数的值为 第14题解析【答案】解析,设则，第15题15如图,在正方形中,已知,为的中点,若为正方形内（含
4、边界）任意一点,则的最大值是 【答案】6解析以AB所在的直线为x轴,AD所在的直线为y轴,建立直角坐标系,设N（x，y）则,则因为,由线性规划的知识可得【考点四】平面向量的应用16在ABC中,AB2,AC3,1,则BC 【答案】.解析由1可得2cos(180B)1,即2|BC|cosB1,又由三角形的余弦定理可得3222222cosB，把2cosB1代入,解得9242,即.17在ABC中,若AB=1,AC=,则=_【答案】. 解析本题主要考查向量与解三角形的有关知识. 满足的A,B,C构成直角三角形的三个顶点,且A为直角,于是=1 .所以=182020江苏卷已知两点M（2，0）、N（2，0），
5、点P为坐标平面内的动点，满足，则动点P（x，y）的轨迹方程为_.【答案】解析设P（x，y），M（2，0）、N（2，0），则，由，则，化简整理得19在面积为2的中,分别是,的中点,点在直线上,则的最小值是 【答案】.解析解法一：问题可转化为已知的面积为1,求的最小值.设中点所对的边分别为，由题设知，从而进一步转化为的最小值.（可数形结合，可用引入辅助角化一个三角函数的形式，可用万能公式转化后换元等，下略）解法二：建立坐标系，立即得目标函数.由题设知，的面积为1,以B为原点,BC所在直线为轴,过点B与直线BC垂直的直线为轴建立平面直角坐标系,设,则,当且仅当时取等号,的最小值是.20对任意两个非零
6、的平面向量和,定义.若平面向量满足,与的夹角,且和都在集合中,则 【答案】.解析根据新定义得：abcos,bacos1，且ab和ba都在集合中,所以ba,，所以ab2cos22,所以1ab2,所以ab.二、解答题212020年第4版必修4教材第97页第12题已知是菱形的四个顶点，求实数的值【答案】 解析（1）若BC为菱形的边，且，即则且的模等于的模，即所以（2）若BC为菱形的边，且即不成立（3）若BC为菱形的对角线，则，即 且，即，显然不成立综上可知，22在平行四边形中，已知过点的直线与线段分别相交于点，若 其中，（1）求的值；（2）记的面积为，平行四边形的面积为，试求之值.【答案】（1）；（
7、2）解析（1）由题意得所以，又又因为三点共线，得，则（1）（1）式两边平方，得，即解得：（2）由题意得，=即.23在中,已知（1）求证：；（2）若求A的值【答案】解析（1）证：设三边分别为，则，；（2）法一：由，又，由知，法二：由（1）得，由得，从而，解得，结合与知， ，又由（1）知，24在平面直角坐标系xOy中,点A(1,2)、B(2,3)、C(2,1) （1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数t满足 =0,求t的值【答案】（1）所求的两条对角线的长分别为、；（2）解析（1）（方法一）由题设知,则所以故所求的两条对角线的长分别为、（方法二）设该平行四边形的第四个
8、顶点为D,两条对角线的交点为E,则E为B、C的中点,E(0,1)，又E(0,1)为A、D的中点，所以D(1,4) 故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；（2）由题设知：=(2,1)，由(=0,得：,从而所以或者 ,第25题25如图中,是以为圆心,以1为半径的圆的一条直径问：与的夹角为何值时,有最大值和最小值 【答案】时有最大值0；时有最小值-6解析，当，即时， ；当，即时， 26如图，在边长为1的正三角形中，分别是边上的点，若ABCEFMN第26题，设的中点为，的中点为（1）三点共线，求证:；（2）若，求的最小值【答案】.解析（1）由三点共线，得， 设（R），即，所以，所以（2）因为，又
9、，所以，所以，故当时，三课本改编题：1. 原题2020年第4版必修4教材第73页习题2.2第15题 已知不共线，设,均为实数，且满足，求证：三点共线变式1：已知a + 2b，2a + 4b，3a + 6b (其中a 、b是两个任意非零向量) ，证明：A、B、C三点共线证明：a + 2b，2a + 4b， 所以，A、B、C三点共线变式2：已知点A、B、C在同一直线上，并且a + b，a + 2b，a + 3b (其中a 、b是两个任意非零向量) ，试求m、n之间的关系【答案】解析a + b ，a + 2b由A、B、C三点在同一直线上可设，则 所以 即 为所求2.原题2020年第4版必修4教材第9
10、1页复习题第10题 已知：.求证：变式1：如图，矩形ABCD内接于半径为r的圆O，点P是圆周上任意一点，求证： 证明： ， ， ， ， 以上各式相加可证变式2：已知ABC中，若，求证：ABC为正三角形. 证明：， ， 又， ，故 ， 知a=b， 同理可知b=c ， 故a=b=c ， 得证变式3：已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证.证明E是对角线AC与BD的交点，.在OAC中，. 同理有四式相加可得：. 变式4：四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，求证：证法一 E、F分别为DA、BC的中点.又=0=0+，得2=02证法二 连结EC，EB，+,得2+
11、0=，又+,得又=0，.C N M QP BA 3.原题原题2020南通高三押题如图,设P,Q为ABC内的两点,且, ,则ABP的面积与ABQ的面积之比为 【答案】.解析 设,则,由平行四边形法则,知NPAB,所以,同理可得,故 变题1已知点在内部，且有求与的面积比【答案】1:2解析如图D是AB的中点，由平行四边形法则得：，由题意知，所以O是CD的中点，即OC=OD，由平面几何知识得，因此与的面积比为1:2变题2已知点在内部，且有，求与的面积比【答案】4:1解析如图是三角形的重心，取为的中点，为的四等分点，这样才有成立，不妨设三角形的面积为24，由重心的性质知所以，所以与的面积比4:1通过上述三道习题的展示，我们不难发现面积比与系数有很大的联系，于是大胆的拓展面积比就是对应的系数比，下面用重心的向量式来证明：已知点在内部，且有不妨设均大于1则证明：如图：设是的重心，那么（重心的向量式）不妨设，由三角形的面积公式得，因此，同理，又因为所以
