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1、第二章 基本初等函数（）1“函数”概念辨析一、表达式相同的两个函数是不是同一函数？答很多同学容易把具有相同表达式的两个函数看作是同一个函数其实，由函数的表达式相同，只能知道它们的对应法则相同，但还有定义域是否相同的问题例如，f(x)3x1(xR)与g(x)3x1(xZ)，尽管f(x)和g(x)的表达式相同，但由于它们的定义域分别为R和Z，故它们是不同的两个函数二、定义域和值域分别相同的两个函数是否相等？答有些同学认为，两个函数的定义域和值域分别相同，那么这两个函数必相等其实不然，例如，f(x)x，x0,1，g(x)(x1)2，x0,1，这两个函数定义域和值域分别相同，但由于f(0)g(0)，f
2、(1)g(1)，即当自变量x取相同值x0时，f(x0)g(x0)，故f(x)g(x)事实上，两个函数相等的意义也可叙述为：如果两个函数f(x)和g(x)的定义域为D，且对于任意x0D，都有f(x0)g(x0)，那么f(x)g(x)三、函数的定义域可以是空集吗？答教材中指出：“设A，B是非空的数集，”由此，不存在定义域为空集的函数当函数存在(给定)时，则其定义域一定不是空集；反之，当定义域为空集时，这样的函数不存在四、y0是函数式吗？答很多同学都认为y0不是函数式，其理由是：函数定义中有两个变量x和y，而在y0中只有一个变量y.从形式上来看，y0中只出现了一个变量y，但我们知道，0与任何实数的乘
3、积仍为0，因此，变量y0就是y0x，另一个变量x不是出现了吗？根据函数的定义，集合Ax|xR显然满足函数的定义，即不论x取何值，y都有唯一确定的值0与之对应，因此，按函数的定义，y0是函数式同理，对任意实数m，ym也是函数式，只要把它写成ym0x就清楚了五、用解析法表示函数时，一个函数可以有两个或多个解析式吗？如果有，各解析式对自变量有何限制？函数定义域如何得到？答可以有两个或两个以上的解析式，这样的函数称为分段函数，但各解析式对自变量的取值范围不能出现公共部分，这时函数的定义域就是各个解析式中自变量取值范围所确定的集合的并集六、为什么说函数的解析式和定义域给出之后，它的值域相应就被确定了？答
4、因为函数的定义域是自变量x的取值范围的集合，而函数的解析式就是确定函数关系，在这个关系下，每一个x都有唯一的y与之对应，因此可由定义域和解析式确定值域.2诠释函数“三要素”构成函数的要素为定义域、对应法则“f”、值域三者因此，这里我们把“定义域、对应法则、值域”称为函数的“三要素”对于初学者来说，理解好函数的“三要素”极为重要在“三要素”中函数的定义域可称得上是函数的灵魂，做任何函数题都首先要考虑到函数的定义域，定义域不同，不管对应法则、值域是否相同，都是不同函数如：(1)yx1，xR；(2)yx1，x1,2,3,4,5；(3)yx1，x1,5这三个函数是不同的函数所以，要弄清楚函数的有关问题
5、，首先要弄清楚其定义域一、定义域1函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示2求函数定义域的方法，主要有如下三类：(1)有函数解析式时求函数定义域：只需使函数有意义即可例1 求y的定义域解由题意知， 从而解得x2且x4，故所求定义域为2,4)(4，)(2)没有具体解析式时，根据已知函数定义域求解，即视为整体来求解例2 已知函数yf(x1)的定义域为(1,1)，求函数yf(x)的定义域解令tx1，1x1，0t2，f(t)的定义域为(0,2)，即所求定义域为(0,2)(3)应用题当中，需满足问题所包含的实际意义例3 一等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，求其解析
6、式和定义域解由题意知解析式为y202x，又因为构成三角形必须有2xy，y0，x0，解得5x10，所以定义域为(5,10)特别提示求定义域时要使每个式子都有意义，所以通常取交集二、对应法则一般地说，在函数f(x)符号中，“f”表示对应法则，等式yf(x)表明对于定义域中的任意的x值，在对应法则“f”的作用下，可得到值域中唯一的y值因此，“f”是使“对应”得以实现的方法和途径，是联系x与y的纽带，也就是函数的核心特别地，f(a)表示自变量xa时所得的函数值，是一个常量；而f(x)称为变量x的函数，在通常情况下，它是一个变量例4 已知函数f(x)x22x，求f(1)、f(a)、f(2x)解f(1)1
7、，f(a)a22a，f(2x)4x24x.特别提示对于函数来说，即使定义域相同，值域相同，对应法则不同，也是不同函数如：(1)yx1，xR，(2)y2x1，xR，这两个函数对应法则不同，就是不同的函数三、值域1函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示2值域的求法，就我们现在所学的知识而言，暂时介绍如下三种方法：(1)二次函数型利用“配方法”例5 求函数y2x24x6的值域解由y2(x1)28得函数的值域为(，8(2)换元法(注意换元后新元的范围)例6 求函数y2x4的值域解令t，则y2t24t22(t1)24，t0，故所求值域为(，4(3)形如y(a，c0)
8、的函数用分离常数法例7 求函数y的值域解y2，0，故y2，值域为yR|y2特别提示关于“配方法”，若有定义域加以限制的，可画出图象，利用“图象法”解决对于值域来说，定义域和对应法则相同，值域就一定相同，即为同一函数所以判断是否为同一函数，只需看定义域和对应法则是否相同即可例8 下列为同一函数的是_(填序号)y和y；yx0和y1；y和yx1；yx22x和yt22t.解析定义域不同，对应法则不同，定义域与对应法则都相同，所以答案为.答案3函数解析式求解的常用方法一、换元法例1 已知f(1)x2，求f(x)分析采用整体思想，可把f(1)中的“1”看做一个整体，然后采用另一参数替代解令t1，则x(t1
9、)2(t1)，代入原式有f(t)(t1)22(t1)t21.f(x)x21(x1)评注将接受对象“1”换作另一个元素(字母)“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便求出关于“t”的函数关系，此即为函数解析式，但在利用这种方法时应注意自变量取值范围的变化，否则就得不到正确的表达式此法是求函数解析式时常用的方法二、待定系数法例2 已知f(x)为二次函数，且f(x1)f(x1)2x24x，求f(x)的表达式解设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x1)f(x1)a(x1)2b(x1)ca(x1)2b(x1)c2ax22bx2a2c2x24x.故有解得所以f(x)x22x1.评注若已知函数是某个
10、基本函数，可设表达式的一般式，再利用已知条件求出系数三、方程消元法例3 已知：2f(x)f()3x，x0，求f(x)解2f(x)f()3x，用去代换式中的x得2f()f(x).由2得f(x)2x，x0.评注方程消元法是指利用方程组通过消参、消元的途径达到求函数解析式的目的.4解读分段函数分段函数是一类特殊的函数，有着广泛的应用，课本中并没有进行大篇幅的介绍，但是它是高考的必考内容，下面就分段函数的有关知识进行拓展，供同学们学习时参考一、分段函数解读在定义域中，对于自变量x的不同取值范围，相应的对应关系不同，这样的函数称之为分段函数分段函数是一个函数，而不是几个函数，它只是各段上的解析式(或对应
11、关系)不同而已二、常见的题型及其求解策略1求分段函数的定义域、值域例1 求函数f(x)的值域解当x2时，yx24x(x2)24，y4；当x2时，y，y1.函数f(x)的值域是y|y4解题策略分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集2求分段函数的函数值例2 已知f(x)求f(5)的值解510，f(5)ff(56)ff(11)，1110，ff(11)f(9)，又910，f(9)ff(15)f(13)11.即f(5)11.解题策略求分段函数的函数值时，关键是判断所给出的自变量所处的区间，再代入相应的解析式；另一方面，如果题目中含有多个分层的形式，则
12、需要由里到外层层处理3画出分段函数的图象例3 已知函数f(x)作出此函数的图象解由于分段函数有两段，所以这个函数的图象应该由两条线组成，一条是抛物线的左侧，另一条是射线，画出图象如图所示解题策略分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同分别由表达式作出其图象，作图时：一、要注意每段自变量的取值范围，二、要注意判断函数图象每段端点的虚实4求解分段函数的解析式例4 某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x(分钟)与相应话费y(元)之间的函数图象如图所示则：(1)月通话为50分钟时，应交话费多少元；(2)求y与x之间的函数关系式解(1)由题意可知当0x100时，
13、设函数的解析式ykx，又因过点(100,40)，得解析式为yx，当月通话为50分钟时，050100，所以应交话费y5020(元)(2)当x100时，设y与x之间的函数关系式为ykxb，由图知x100时，y40；x200时，y60.则有，解得所以解析式为yx20，故所求函数关系式为y解题策略以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在高考试题中，解决此类问题的关键是正确的理解题目(或图象)给出的信息，确定合适的数学模型及准确的自变量的分界点 5合理变形突破单调性的证明由定义证明函数f(x)在区间D上的单调性，其步骤为：取值作差变形定号其中变形是最关键的一步，合理变形是准确判断f(x1)f(x2
14、)的符号的关键所在本文总结了用定义证明函数单调性中的变形策略一、因式分解例1 求证：函数f(x)x24x在(，2上是单调减函数证明设x1，x2是(，2上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x4x1)(x4x2)(x1x2)(x1x24)因为x1x22，所以x1x20，x1x240.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故函数f(x)在(，2上是单调减函数评注因式分解是变形的常用策略，但必须注意，分解时一定要彻底，这样才利于判断f(x1)f(x2)的符号二、配方例2 求证：函数f(x)x31在R上是单调增函数证明设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1x1xx(x1x2)(xx1
