《高中数学第二章函数2.5简单的幂函数学案北师大必修1》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第二章函数2.5简单的幂函数学案北师大必修1(21页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2.5 简单的幂函数15核心必知1幂函数的定义如果一个函数,底数是自变量x,指数是常量,即yx,这样的函数称为幂函数提醒在中学时段只要求关注1,1,2,3,共5种幂函数的性质2函数的奇偶性(1)奇函数:一般地,图像关于原点对称的函数叫作奇函数,在奇函数f(x)中,f(x)和f(x)的绝对值相等,符号相反,即f(x)f(x);反之,满足f(x)f(x)的函数yf(x)一定是奇函数(2)偶函数:一般地,图像关于y轴对称的函数叫作偶函数,在偶函数f(x)中,f(x)和f(x)的值相等,即f(x)f(x);反之,满足f(x)f(x)的函数yf(x)一定是偶函数 (3)奇偶性:当函数f(x)是奇函数或偶
2、函数时,称函数具有奇偶性问题思考1具有奇偶性的函数其定义域有何特点?提示:具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称,由奇函数的定义可知f(x)f(x),故变量x,x均在定义域中,同理,对于偶函数,由f(x)f(x)可知,x,x也均在定义域内2既是奇函数,又是偶函数的函数不存在,对吗?提示:不对如函数y0(xR),其图像既关于原点对称,又关于y轴对称,所以函数y0(xR)既是奇函数又是偶函数3定义在R上的奇函数f(x),f(0)的值是多少?提示:f(0)0.讲一讲1已知幂函数f(x)(m2m1)xm22m3,当x(0,)时为减函数(1)求函数yf(x)的解析式;(2)用描点法作出f(x)的图像;(
3、3)给出yf(x)的单调区间及其值域,并判断其奇偶性尝试解答(1)f(x)(m2m1)xm22m3为幂函数,m2m11,解之得m1或m2.当m1时,f(x)x01(x0),易知不符合题意当m2时f(x)x3(x0),易知在(0,)上为减函数f(x)x3(x0) (2)列表:作图:(3)由(2)可知f(x)的单调减区间为(0,)及(,0),f(x)的值域为(,0)(0,),f(x)为奇函数(1)幂函数yx要满足三个特征:幂x的系数为1;底数只能是自变量x,指数是常数;项数只有一项只有满足这三个特征,才是幂函数(2)幂函数的图像可用描点法得到,其性质可由图像得到练一练1(1)若函数f(x)既是幂函
4、数又是反比例函数,则f(x) _;(2)已知幂函数yf(x)的图像过点(2,4),则f(1)_.解析:(1)f(x)为反比例函数,设f(x)kx1(k0)又f(x)为幂函数,k1,f(x)x1.(2)设yx,把点(2,4)代入得42,2,解析式为yx2,f(1)(1)21.答案:(1)x1(2)1讲一讲2判断下列函数的奇偶性(1)f(x)x3x;(2)f(x)(x1);(3)f(x);(4)f(x)尝试解答(1)函数的定义域为R,且f(x)(x)3(x)x3xf(x),f(x)为奇函数;(2)定义域为x|x1或x1,定义域不关于原点对称,f(x)为非奇非偶函数;(3)定义域为2,2,任取x2,
5、2,则x2,2f(x)0f(x)f(x),f(x)既是奇函数又是偶函数;(4)法一:可知函数的定义域为(,0)(0,),关于原点对称,设x0,则x0,f(x)(x)21f(x),设x0,f(x)(x)21x21f(x),f(x)为奇函数法二:作出函数f(x)的图像,如图,由图像可知,f(x)的图像关于原点对称,f(x)为奇函数判断函数的奇偶性常用的方法:(1)定义法:若定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数;若关于原点对称,则进一步判断f(x)与f(x)的关系,注意当解析式中含有参数时,要对参数进行分类讨论(2)图像法:若函数图像关于原点对称,则此函数为奇函数;若函数图像关于y轴对称,则此
6、函数为偶函数练一练2判断下列函数是奇函数还是偶函数(1)f(x);(2)f(x)x32x;(3)f(x)|x1|x1|;(4)f(x)解:(1)函数的定义域为(,),关于原点对称又f(x)f(x),f(x)是偶函数(2)定义域为R,关于原点对称,又f(x)(x)32(x)x32x(x32x)f(x),函数f(x)是奇函数(3)函数的定义域为(,),f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x),f(x)|x1|x1|是奇函数(4)法一:可知函数f(x)的定义域关于原点对称当x0,f(x)(x)22(x)3x22x3f(x);当x0时,x0时此函数为增函数,又该函数为奇函数4已知对
7、于任意实数x,函数f(x)f(x),若方程f(x)0有2 009个实数解,则这2 009个实数解之和为_解析:由奇函数的图像的对称性可知,这些解之和为0.答案:05函数yf(x)是偶函数,且在(,0上为增函数,则f与f(1)的大小关系为_解析:1,且函数yf(x)在(,0上为增函数,f(1)f.又yf(x)是偶函数,f(1)f(1)f(1)f.答案:f(1)f6若f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)x(1x),求函数f(x)的解析式解:f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)f(x)当x0时,x0,f(x)f(x)x(1x)当x0时,f(0)f(0),即f(0)f(0),f(0)0.
8、函数f(x)的解析式为f(x)一、选择题1下列幂函数中为偶函数的是()Ayx1ByxCyx3 Dyx2解析:选D由偶函数的性质f(x)f(x)知,D正确2若f(x)ax2bxc(a0)是偶函数,则g(x)ax3bx2cx是()A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既奇又偶函数解析:选A由f(x)ax2bxc(a0)为偶函数得b0,g(x)ax3cx,(a0),其定义域为R,且g(x)a(x)3c(x)g(x),g(x)为奇函数3已知偶函数f(x)在区间0,)上单调递增,则满足f(2x1)f的x的取值范围是()A. B.C. D.解析:选A作出示意图可知:f(2x1)f()2x1,即x.4已知定义域为R的函数f(x)在(8,)上为减函数,且函数yf(x8)为偶函数,则()Af(6)f(7) Bf(6)f(9)Cf(7)f(9) Df(7)f(10)解析:选Dyf(x8)为偶函数,f(x8)f(x8),yf(x)的对称轴为x8.f(x)在(8,)为减函数,